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非线性系统某些参数的微小变化可以导致平衡态的出现或消失，或者从吸引变为排斥，又或相反，从而导致系统行为产生巨大而突然的变化。然而，在较大的参数空间中，突变论揭示了这种分叉点往往作为定性几何结构的一部分出现。
非线性系统某些参数的微小变化可以导致平衡态的出现或消失，或者从吸引变为排斥，又或相反，从而导致系统行为产生巨大而突然的变化。然而，在较大的参数空间中，突变论揭示了这种分叉点往往作为定性几何结构的一部分出现。
== 基本的灾难 ==
== 基本的灾难 ==
当退化点不只是巧合的，而且是结构性稳定的，退化点作为具有较低退化度的特定几何结构的组织中心存在，其周围的参数空间具有临界特征。如果势函数依赖于两个或更少的活动变量以及四个或更少的活动参数，那么对于这些分支几何形状，只有七个通用结构，具有可以通过微分同胚(一种逆光滑的光滑变换)将灾变芽周围的泰勒级数转化为相应的标准形式。{{Citation needed|date=May 2010}}这七种基本类型现在被呈现出来，Thom也给他们取了名字。
当退化点不只是巧合的，而且是结构性稳定的，退化点作为具有较低退化度的特定几何结构的组织中心存在，其周围的参数空间具有临界特征。如果势函数依赖于两个或更少的活动变量以及四个或更少的活动参数，那么对于这些分支几何形状，只有七个通用结构，具有可以通过微分同胚(一种逆光滑的光滑变换)将灾变芽周围的泰勒级数转化为相应的标准形式。{{Citation needed|date=May 2010}}这七种基本类型现在被呈现出来，Thom也给他们取了名字。
== 一个有效变量的势函数 ==
== 一个有效变量的势函数 ==
=== 折叠灾难 ===
=== 折叠灾难 ===
:<math>V = x^3 + ax\,</math>
:<math>V = x^3 + ax\,</math>
在负值 a 时，势 v 有两个极值，一个是稳定的，一个是不稳定的。如果参数 a 缓慢增加，系统可以达到稳定的最小点。但在0时，稳定极值与不稳定极值相遇并湮灭。这就是分歧点。这儿不再有一个稳定解。如果一个物理系统经过一个折叠分叉，人们就会发现，当 a 到达0时，解的稳定性会突然丧失，系统也会突然转变为一个新的，非常不同的行为。参数 a 的这个分叉值有时被称为“引爆点”。
在负值 a 时，势 v 有两个极值，一个是稳定的，一个是不稳定的。如果参数 a 缓慢增加，系统可以达到稳定的最小点。但在0时，稳定极值与不稳定极值相遇并湮灭。这就是分歧点。这儿不再有一个稳定解。如果一个物理系统经过一个折叠分叉，人们就会发现，当 a 到达0时，解的稳定性会突然丧失，系统也会突然转变为一个新的，非常不同的行为。参数 a 的这个分叉值有时被称为“引爆点”。
{{clear}}
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我们也可以考虑，如果一个人保持''b''常数，改变''a''会发生什么。在对称情形{{nowrap|''b'' {{=}} 0}}中，我们观察到''a''被还原时的叉式分岔，当物理系统通过尖点(0,0)时，一个稳定解突然分裂成两个稳定解和一个不稳定解{{nowrap|''a'' < 0}}(自发对称性破缺的一个例子)。离开尖点，所遵循的物理解没有突然的变化: 当通过折叠分叉曲线时，所发生的是一个备用的第二解变得可用。
我们也可以考虑，如果一个人保持''b''常数，改变''a''会发生什么。在对称情形{{nowrap|''b'' {{=}} 0}}中，我们观察到''a''被还原时的叉式分岔，当物理系统通过尖点(0,0)时，一个稳定解突然分裂成两个稳定解和一个不稳定解{{nowrap|''a'' < 0}}(自发对称性破缺的一个例子)。离开尖点，所遵循的物理解没有突然的变化: 当通过折叠分叉曲线时，所发生的是一个备用的第二解变得可用。
一个著名的建议是尖点灾难可以用来模拟一只受到压力的狗的行为，它可能会变得胆怯或生气。<ref>E.C. Zeeman, [http://www.gaianxaos.com/pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf Catastrophe Theory], ''Scientific American'', April 1976; pp. 65–70, 75–83</ref> 建议是，在适度的压力({{nowrap|''a'' > 0}}) ，狗将展示一个平稳过渡的反应，从吓唬到愤怒，这取决于它是如何挑起的。但是较高的应力水平对应于向该区域的移动({{nowrap|''a'' < 0}})。然后，如果狗开始恐吓，它会继续恐吓，因为它被激怒越来越多，直到它达到’折叠’点，其会突然，不间断地跳转到愤怒的模式。一旦进入“愤怒”模式，即使直接刺激参数大大降低，它也会继续愤怒。
一个著名的建议是尖点灾难可以用来模拟一只受到压力的狗的行为，它可能会变得胆怯或生气。<ref>E.C. Zeeman, [http://www.gaianxaos.com/pdf/dynamics/zeeman-catastrophe_theory.pdf Catastrophe Theory], ''Scientific American'', April 1976; pp. 65–70, 75–83</ref> 建议是，在适度的压力({{nowrap|''a'' > 0}}) ，狗将展示一个平稳过渡的反应，从吓唬到愤怒，这取决于它是如何挑起的。但是较高的应力水平对应于向该区域的移动({{nowrap|''a'' < 0}})。然后，如果狗开始恐吓，它会继续恐吓，因为它被激怒越来越多，直到它达到’折叠’点，其会突然，不间断地跳转到愤怒的模式。一旦进入“愤怒”模式，即使直接刺激参数大大降低，它也会继续愤怒。
并联冗余[[复杂系统]]的灾变失效可以根据局部应力与外部应力之间的关系进行评估。结构断裂力学模型与尖点突变行为相似。该模型预测了复杂系统的储备能力。
并联冗余[[复杂系统]]的灾变失效可以根据局部应力与外部应力之间的关系进行评估。结构断裂力学模型与尖点突变行为相似。该模型预测了复杂系统的储备能力。
其他应用还包括化学和生物系统<ref>{{cite journal|last=Xu|first=F|title=Application of catastrophe theory to the ∆G<sup>≠</sup> to -∆G relationship in electron transfer reactions.| journal=Zeitschrift für Physikalische Chemie |series=Neue Folge | volume=166 | pages=79–91 | date=1990|doi=10.1524/zpch.1990.166.Part_1.079}}</ref> 中经常遇到的外层电子转移和房地产价格模型。<ref>{{cite journal|last=Bełej|first=Mirosław|author2=Kulesza, Sławomir|title=Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions|journal=Folia Oeconomica Stetinensia|volume=11|issue=1|pages=61–72|doi=10.2478/v10031-012-0008-7|year=2012|doi-access=free}}</ref>
其他应用还包括化学和生物系统<ref>{{cite journal|last=Xu|first=F|title=Application of catastrophe theory to the ∆G<sup>≠</sup> to -∆G relationship in electron transfer reactions.| journal=Zeitschrift für Physikalische Chemie |series=Neue Folge | volume=166 | pages=79–91 | date=1990|doi=10.1524/zpch.1990.166.Part_1.079}}</ref> 中经常遇到的外层电子转移和房地产价格模型。<ref>{{cite journal|last=Bełej|first=Mirosław|author2=Kulesza, Sławomir|title=Modeling the Real Estate Prices in Olsztyn under Instability Conditions|journal=Folia Oeconomica Stetinensia|volume=11|issue=1|pages=61–72|doi=10.2478/v10031-012-0008-7|year=2012|doi-access=free}}</ref>
它们产生强烈的引力透镜效应事件，为天文学家提供了探测黑洞和宇宙暗物质的方法之一---- 通过引力透镜效应现象产生遥远类星体的多幅图像。<ref>A.O. Petters, H. Levine and J. Wambsganss, Singularity Theory and Gravitational Lensing", Birkhäuser Boston (2001)</ref>
它们产生强烈的引力透镜效应事件，为天文学家提供了探测黑洞和宇宙暗物质的方法之一---- 通过引力透镜效应现象产生遥远类星体的多幅图像。<ref>A.O. Petters, H. Levine and J. Wambsganss, Singularity Theory and Gravitational Lensing", Birkhäuser Boston (2001)</ref>
剩下的简单的灾难几何图形在比较中非常专业，在这里展示只是为了好奇的价值。
剩下的简单的灾难几何图形在比较中非常专业，在这里展示只是为了好奇的价值。
=== 燕尾蝶灾难 ===
=== 燕尾蝶灾难 ===
[[File:240px-Swallow_tail.jpg|thumb|right|160px|Swallowtail catastrophe surface|链接=Special:FilePath/Smallow_tail.jpg]]
[[File:240px-Swallow_tail.jpg|thumb|right|160px|Swallowtail catastrophe surface|链接=Special:FilePath/Smallow_tail.jpg]]
燕尾突变曲面
燕尾突变曲面
:<math>V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx \, </math>
:<math>V = x^5 + ax^3 + bx^2 + cx \, </math>
控制参数空间为三维空间。参数空间中的分岔集是由三个折叠分岔曲面组成的，这三个折叠分岔曲面在两条尖点分岔线上相交，而尖点又在一个单燕尾分岔点上相交。
控制参数空间为三维空间。参数空间中的分岔集是由三个折叠分岔曲面组成的，这三个折叠分岔曲面在两条尖点分岔线上相交，而尖点又在一个单燕尾分岔点上相交。
=== 蝴蝶灾难 ===
=== 蝴蝶灾难 ===
:<math>V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx \, </math>
:<math>V = x^6 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx \, </math>
根据参数值的不同，势函数可能由折叠分叉的轨迹分开有三个、两个或一个不同的局部极小值。在蝶形点处，折叠分叉的不同三面、尖点分叉的两面、燕尾分叉的线条都相遇并消失，留下一个单一的尖点结构{{nowrap|''a'' > 0}}。
根据参数值的不同，势函数可能由折叠分叉的轨迹分开有三个、两个或一个不同的局部极小值。在蝶形点处，折叠分叉的不同三面、尖点分叉的两面、燕尾分叉的线条都相遇并消失，留下一个单一的尖点结构{{nowrap|''a'' > 0}}。
Thom 提出双曲线脐状突变模拟了波的破裂，椭圆脐状突变模拟了毛发状结构的产生。
Thom 提出双曲线脐状突变模拟了波的破裂，椭圆脐状突变模拟了毛发状结构的产生。
=== 双曲线脐点突变 ===
=== 双曲线脐点突变 ===
=== 抛物线脐点突变 ===
=== 抛物线脐点突变 ===
:<math>V = x^2y + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy \, </math>
:<math>V = x^2y + y^4 + ax^2 + by^2 + cx + dy \, </math>
==阿诺德记数法==
==阿诺德记数法==
弗拉迪米尔 · 阿诺德将这些灾难归为 ADE 类，因为它们与简单的李群有很深的联系。
弗拉迪米尔 · 阿诺德将这些灾难归为 ADE 类，因为它们与简单的李群有很深的联系。
*''A''<sub>0</sub> - a non-singular point: <math>V = x</math>.
*''A''<sub>0</sub> - a non-singular point: <math>V = x</math>.
*''A''<sub>1</sub> - a local extremum, either a stable minimum or unstable maximum <math>V = \pm x^2 + a x</math>.
*''A''<sub>1</sub> - a local extremum, either a stable minimum or unstable maximum <math>V = \pm x^2 + a x</math>.
*''A''<sub>2</sub> - the fold
*''A''<sub>2</sub> - the fold
*''A''<sub>3</sub> - the cusp
*''A''<sub>3</sub> - the cusp
*''A''<sub>4</sub> - the swallowtail
*''A''<sub>4</sub> - the swallowtail
*''A''<sub>5</sub> - the butterfly
*''A''<sub>5</sub> - the butterfly
*''A''<sub>k</sub> - a representative of an infinite sequence of one variable forms <math>V=x^{k+1}+\cdots</math>
*''A''<sub>k</sub> - a representative of an infinite sequence of one variable forms <math>V=x^{k+1}+\cdots</math>
*''D''<sub>4</sub><sup>−</sup> - the elliptical umbilic
*''D''<sub>4</sub><sup>−</sup> - the elliptical umbilic
*''D''<sub>4</sub><sup>+</sup> - the hyperbolic umbilic
*''D''<sub>4</sub><sup>+</sup> - the hyperbolic umbilic
*''D''<sub>5</sub> - the parabolic umbilic
*''D''<sub>5</sub> - the parabolic umbilic
*''D''<sub>k</sub> - a representative of an infinite sequence of further umbilic forms
*''D''<sub>k</sub> - a representative of an infinite sequence of further umbilic forms
*''E''<sub>6</sub> - the symbolic umbilic <math>V = x^3+y^4+a x y^2 +bxy+cx+dy+ey^2</math>
*''E''<sub>6</sub> - the symbolic umbilic <math>V = x^3+y^4+a x y^2 +bxy+cx+dy+ey^2</math>
*''E''<sub>7</sub>
*''E''<sub>7</sub>
*''E''<sub>8</sub>
*''E''<sub>8</sub>
* Snowball effect
* Snowball effect
{{div col end}}
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== 参考资料 ==
== 参考资料 ==
{{reflist|25em}}
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==参考书目==
==参考书目==
*Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
*Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
*V. S. Afrajmovich, V. I. Arnold, et al., Bifurcation Theory And Catastrophe Theory.
*V. S. Afrajmovich, V. I. Arnold, et al., Bifurcation Theory And Catastrophe Theory.
范畴: 系统论
范畴: 系统论
范畴: 混沌理论
范畴: 混沌理论
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