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[[File:Minimum spanning tree.svg|thumb|300px|right|一个加权平面图的'''最小生成树 Minimum Spanning Tree '''。找到最小生成树是一个涉及'''组合优化 Combinatorial Optimization '''的常见问题。
[[File:Minimum spanning tree.svg|thumb|300px|right|一个加权平面图的'''最小[[生成树]] Minimum Spanning Tree'''。找到最小[[生成树]]是一个涉及'''组合优化 Combinatorial Optimization'''的常见问题。
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'''组合优化'''主要是从一个有限的对象[[集合]]中寻找一个最佳对象。<ref>{{harvnb|Schrijver|2003|p=1}}.</ref>在许多这样的问题中，'''穷举搜索 exhaustive search '''是不易处理的。如果这些优化问题可行解集是离散的，或者可行解集可以化为离散的，那么可以在问题范围内进行运算，其目标是找到最优解。典型的问题是'''旅行商问题 Traveling Salesman Problem'''(“ TSP”)、最小生成树问题(“ MST”)和'''背包问题 Knapsack Problem'''。
'''组合优化'''主要是从一个有限的对象[[集合]]中寻找一个最佳对象。<ref>{{harvnb|Schrijver|2003|p=1}}.</ref>在许多这样的问题中，'''穷举搜索 exhaustive search '''是不易处理的。如果这些优化问题可行解集是离散的，或者可行解集可以化为离散的，那么可以在问题范围内进行运算，其目标是找到最优解。典型的问题是'''旅行商问题 Traveling Salesman Problem'''(“ TSP”)、最小[[生成树]]问题(“ MST”)和'''背包问题 Knapsack Problem'''。
一些研究文献<ref>{{cite book | title=Discrete Optimization | url=http://www.elsevier.com/locate/disopt | publisher=Elsevier | accessdate=2009-06-08}}</ref>认为'''[[离散优化]] Discrete Optimization '''是由'''[[整数规划]] Integer Programming '''和组合优化组成的（反过来由解决图结构的优化问题组成），尽管所有这些主题的研究文献都紧密地交织在一起。它通常涉及如何有效地分配用于寻找数学问题解决方案的资源的决策。
一些研究文献<ref>{{cite book | title=Discrete Optimization | url=http://www.elsevier.com/locate/disopt | publisher=Elsevier | accessdate=2009-06-08}}</ref>认为'''离散优化 Discrete Optimization '''是由'''整数规划 Integer Programming '''和组合优化组成的（反过来由解决图结构的优化问题组成），尽管所有这些主题的研究文献都紧密地交织在一起。它通常涉及如何有效地分配用于寻找数学问题解决方案的资源的决策。
==方法==
==方法==
对于某些特殊的离散优化问题，有大量的文献是关于'''多项式时间算法 Polynomial-Time Algorithm '''的，其中相当一部分是通过'''[[线性规划]] Linear Programming '''理论统一起来的。属于这个框架的组合优化问题的一些例子包括'''最短路径 Shortest paths '''和'''最短路径树 Shortest-path Tree '''、'''[[流和循环]] Flows And Circulations '''、[[生成树]]、'''[[匹配和拟阵]] Matching And Matroid Problems '''问题。
对于某些特殊的离散优化问题，有大量的文献是关于'''多项式时间算法 Polynomial-Time Algorithm '''的，其中相当一部分是通过'''线性规划 Linear Programming '''理论统一起来的。属于这个框架的组合优化问题的一些例子包括'''最短路径 Shortest paths '''和'''最短路径树 Shortest-path Tree '''、'''流和循环 Flows And Circulations '''、[[生成树]]、'''匹配和拟阵 Matching And Matroid Problems '''问题。
对于'''NP完全 NP-Complete'''的离散优化问题，目前的研究文献包括以下主题:
对于'''NP完全 NP-Complete'''的离散优化问题，目前的研究文献包括以下主题:
* 多项式时间可精确解决的特殊问题（例如,[[固定参数可解]]）
* 多项式时间可精确解决的特殊问题（例如,固定参数可解）
* 在“随机”实例上表现良好的算法（例如，TSP）
* 在“随机”实例上表现良好的算法（例如，TSP）
* '''[[近似算法]] Approximation Algorithm'''在多项式时间内运行并找到一个“接近”最优值的解
* '''近似算法 Approximation Algorithm'''在多项式时间内运行并找到一个“接近”最优值的解
* 解决现实世界中出现的实例，这些实例不一定表现出NP完全问题固有的最坏情况（例如，具有成千上万个节点的TSP实例<ref>{{harvnb|Cook|2016}}.</ref>)
* 解决现实世界中出现的实例，这些实例不一定表现出NP完全问题固有的最坏情况（例如，具有成千上万个节点的TSP实例<ref>{{harvnb|Cook|2016}}.</ref>)
最优的旅行商途经[[德国15个最大的城市。这是每个城市只能访问一次的43589145600<ref>Take one city, and take all possible orders of the other 14 cities. Then divide by two because it does not matter in which direction in time they come after each other: 14!/2 = 43,589,145,600.</ref>次旅行中最短的一次。]
最优的旅行商途经[[德国15个最大的城市。这是每个城市只能访问一次的43589145600<ref>Take one city, and take all possible orders of the other 14 cities. Then divide by two because it does not matter in which direction in time they come after each other: 14!/2 = 43,589,145,600.</ref>次旅行中最短的一次。]
* '''指派问题 Assignment Problem '''
* '''指派问题 Assignment Problem'''
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* '''封闭性问题 Closure Problem'''
'''封闭性问题 Closure Problem '''
* '''约束满足问题 Constraint Satisfaction Problem'''
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* '''切割问题 Cutting Stock Problem'''
'''约束满足问题 Constraint Satisfaction Problem '''
* '''控制集问题 Dominating Set'''
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* '''整数规划 Integer Programming'''
'''切割问题 Cutting Stock Problem '''
* '''背包问题 Knapsack Problem'''
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* '''线性系统中的最小相关变量 Minimum Relevant Variables In Linear System'''
'''控制集问题 Dominating Set '''
* '''最小[[生成树]] Minimum Spanning Tree'''
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* '''护士调度问题 Nurse Scheduling Problem'''
'''整数规划 Integer Programming '''
* '''集合覆盖问题 Set Cover Problem'''
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* '''旅行商问题 Traveling Salesman Problem'''
'''背包问题 Knapsack Problem '''
* '''车辆重新调度问题 Vehicle Rescheduling Problem'''
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* '''车辆线路优化问题 Vehicle Routing Problem'''
'''线性系统中的最小相关变量 Minimum Relevant Variables In Linear System '''
* '''武器目标分配问题 Weapon Target Assignment Problem'''
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'''最小生成树 Minimum Spanning Tree '''
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'''护士调度问题 Nurse Scheduling Problem '''
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'''集合覆盖问题 Set Cover Problem '''
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'''旅行商问题 Traveling Salesman Problem '''
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'''车辆重新调度问题 Vehicle Rescheduling Problem '''
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'''车辆线路优化问题 Vehicle Routing Problem '''
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'''武器目标分配问题 Weapon Target Assignment Problem '''
==参见==
==参见==