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蒙特卡罗模拟 (查看源代码)

2021年8月20日 (五) 15:59的版本

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|keywords=蒙特卡罗方法、蒙特卡洛实验、蒙特卡洛模拟
 
|keywords=蒙特卡罗方法、蒙特卡洛实验、蒙特卡洛模拟
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==概述==
 
==概述==
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蒙特卡罗方法各不相同，但趋于遵循一个特定的模式:
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蒙特卡罗方法各不相同，但趋于遵循一个特定的模式：
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1、定义可能输入的域
 
1、定义可能输入的域
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例如，考虑一个单位正方形内嵌的四分之一圆。考虑到它们的面积比是π/4，π的值可以用蒙特卡罗方法来近似：<ref name=":9" />
 
例如，考虑一个单位正方形内嵌的四分之一圆。考虑到它们的面积比是π/4，π的值可以用蒙特卡罗方法来近似：<ref name=":9" />
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1、画一个正方形，然后在其中划出一个四分之一圆
 
1、画一个正方形，然后在其中划出一个四分之一圆
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在这个过程中，输入域是限定四分之一圆的正方形。我们通过将颗粒散射到正方形上来产生随机输入，然后对每个输入执行计算(测试它是否在四分之一圆内)。汇总这些结果会产生最终的结果—π的近似值。
 
在这个过程中，输入域是限定四分之一圆的正方形。我们通过将颗粒散射到正方形上来产生随机输入，然后对每个输入执行计算(测试它是否在四分之一圆内)。汇总这些结果会产生最终的结果—π的近似值。
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有两个重要的考虑因素:
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有两个重要的考虑因素：
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1、如果这些点不是均匀分布的，那么近似效果就会很差。
 
1、如果这些点不是均匀分布的，那么近似效果就会很差。
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基于总温室气体、气溶胶强迫和总人为强迫的'''有效辐射强迫 Effective Radiative Forcing（ERF）概率密度函数 Probability Density Function(PDF)'''。温室气体由'''充分混合温室气体 Well Mixed Greenhouse Gases（WMGHG）'''、臭氧和平流层水蒸汽组成。概率密度函数是根据表8.6提供的不确定性生成的。基于'''鲍彻 Boucher'''和'''海伍德 Haywood'''(2001)的方法，通过蒙特卡洛模拟，将单个辐射强迫介质组合起来，得出工业时代的总强迫。来自地面反照率变化和混合尾迹和尾迹诱导的卷云的有效辐射强迫的概率密度函数包含在总人为强迫中，而不是单独显示为独立的概率密度函数。我们目前还没有有效辐射强迫来估计一些强迫机制，例如：臭氧、土地利用、太阳能等。<ref>''Climate Change 2013 The Physical Science Basis'' (PDF). Cambridge University Press. 2013. p. 697. ISBN <bdi>978-1-107-66182-0</bdi>. Retrieved 2 March 2016.</ref>
 
基于总温室气体、气溶胶强迫和总人为强迫的'''有效辐射强迫 Effective Radiative Forcing（ERF）概率密度函数 Probability Density Function(PDF)'''。温室气体由'''充分混合温室气体 Well Mixed Greenhouse Gases（WMGHG）'''、臭氧和平流层水蒸汽组成。概率密度函数是根据表8.6提供的不确定性生成的。基于'''鲍彻 Boucher'''和'''海伍德 Haywood'''(2001)的方法，通过蒙特卡洛模拟，将单个辐射强迫介质组合起来，得出工业时代的总强迫。来自地面反照率变化和混合尾迹和尾迹诱导的卷云的有效辐射强迫的概率密度函数包含在总人为强迫中，而不是单独显示为独立的概率密度函数。我们目前还没有有效辐射强迫来估计一些强迫机制，例如：臭氧、土地利用、太阳能等。<ref>''Climate Change 2013 The Physical Science Basis'' (PDF). Cambridge University Press. 2013. p. 697. ISBN <bdi>978-1-107-66182-0</bdi>. Retrieved 2 March 2016.</ref>
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=== 计算生物学===
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===计算生物学===
 
蒙特卡罗方法被用于'''计算生物学 Computational Biology'''的各个领域，例如在系统发育学中的贝叶斯推断，或者用于研究生物系统，例如基因组、蛋白质<ref name=":39">Ojeda & et al. 2009,</ref>或膜<ref name=":40">Milik, M.; Skolnick, J. (Jan 1993). "Insertion of peptide chains into lipid membranes: an off-lattice Monte Carlo dynamics model". ''Proteins''. '''15''' (1): 10–25. doi:10.1002/prot.340150104. <nowiki>PMID 8451235</nowiki>. S2CID 7450512.</ref>。该系统可以在粗粒度或从头计算框架中研究，这取决于所需的准确性。计算机模拟使我们能够监测特定分子的局部环境，看看是否正在发生某种化学反应，例如。在无法进行物理实验的情况下，可以进行思维实验(例如：断键，在特定位置引入杂质，改变局部/整体结构，或引入外部场)。
 
蒙特卡罗方法被用于'''计算生物学 Computational Biology'''的各个领域，例如在系统发育学中的贝叶斯推断，或者用于研究生物系统，例如基因组、蛋白质<ref name=":39">Ojeda & et al. 2009,</ref>或膜<ref name=":40">Milik, M.; Skolnick, J. (Jan 1993). "Insertion of peptide chains into lipid membranes: an off-lattice Monte Carlo dynamics model". ''Proteins''. '''15''' (1): 10–25. doi:10.1002/prot.340150104. <nowiki>PMID 8451235</nowiki>. S2CID 7450512.</ref>。该系统可以在粗粒度或从头计算框架中研究，这取决于所需的准确性。计算机模拟使我们能够监测特定分子的局部环境，看看是否正在发生某种化学反应，例如。在无法进行物理实验的情况下，可以进行思维实验(例如：断键，在特定位置引入杂质，改变局部/整体结构，或引入外部场)。
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===应用统计学===
 
===应用统计学===
 
蒙特卡罗方法的统计标准是由萨维罗斯基制定的。 <ref name=":41">{{cite journal | last1 = Cassey | last2 = Smith | year = 2014 | title = Simulating confidence for the Ellison-Glaeser Index | url = | journal = Journal of Urban Economics | volume = 81 | issue = | page = 93 | doi =  10.1016/j.jue.2014.02.005}}</ref>在应用统计学中，蒙特卡罗方法至少可用于四种目的：
 
蒙特卡罗方法的统计标准是由萨维罗斯基制定的。 <ref name=":41">{{cite journal | last1 = Cassey | last2 = Smith | year = 2014 | title = Simulating confidence for the Ellison-Glaeser Index | url = | journal = Journal of Urban Economics | volume = 81 | issue = | page = 93 | doi =  10.1016/j.jue.2014.02.005}}</ref>在应用统计学中，蒙特卡罗方法至少可用于四种目的：
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# 比较在现实数据条件下小样本的竞争统计。虽然根据经典理论分布(例如，正态曲线，'''柯西分布 Cauchy distribution''')数据的渐近条件(即，无限大的样本量和无限小的处理效果) ， i 型误差和统计的幂次特性可以进行计算，但是实际数据往往没有这样的分布。<ref name=":43">Sawilowsky, Shlomo S.; Fahoome, Gail C. (2003). ''Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran''. Rochester Hills, MI: JMASM. ISBN <bdi>978-0-9740236-0-1</bdi>.</ref>
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# 提供比精确检验更有效的假设检验的实现，例如排列检验(通常无法计算) ，同时比渐近分布的临界值更精确。
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1、比较在现实数据条件下小样本的竞争统计。虽然根据经典理论分布(例如，正态曲线，'''柯西分布 Cauchy distribution''')数据的渐近条件(即，无限大的样本量和无限小的处理效果) ， i 型误差和统计的幂次特性可以进行计算，但是实际数据往往没有这样的分布。<ref name=":43">Sawilowsky, Shlomo S.; Fahoome, Gail C. (2003). ''Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran''. Rochester Hills, MI: JMASM. ISBN <bdi>978-0-9740236-0-1</bdi>.</ref>
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2、提供比精确检验更有效的假设检验的实现，例如排列检验(通常无法计算) ，同时比渐近分布的临界值更精确。
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# 提供一份来自后验概率贝叶斯推断的随机样本。然后基于这个样本进行近似和总结后验的所有基本特征。
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3、提供一份来自后验概率贝叶斯推断的随机样本。然后基于这个样本进行近似和总结后验的所有基本特征。
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# 提供负对数似然函数的海赛矩阵的有效随机估计，这些估计的平均值可以形成'''费雪信息量 Fisher Information'''矩阵的估计。<ref name=":44">Spall, James C. (2005). "Monte Carlo Computation of the Fisher Information Matrix in Nonstandard Settings". ''Journal of Computational and Graphical Statistics''. '''14''' (4): 889–909. CiteSeerX 10.1.1.142.738. doi:10.1198/106186005X78800. S2CID 16090098.</ref><ref name=":45">{{Cite journal |doi = 10.1016/j.csda.2009.09.018|title = Efficient Monte Carlo computation of Fisher information matrix using prior information|journal = Computational Statistics & Data Analysis|volume = 54|issue = 2|pages = 272–289|year = 2010|last1 = Das|first1 = Sonjoy|last2 = Spall|first2 = James C.|last3 = Ghanem|first3 = Roger}}</ref>
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4、提供负对数似然函数的海赛矩阵的有效随机估计，这些估计的平均值可以形成'''费雪信息量 Fisher Information'''矩阵的估计。<ref name=":44">Spall, James C. (2005). "Monte Carlo Computation of the Fisher Information Matrix in Nonstandard Settings". ''Journal of Computational and Graphical Statistics''. '''14''' (4): 889–909. CiteSeerX 10.1.1.142.738. doi:10.1198/106186005X78800. S2CID 16090098.</ref><ref name=":45">{{Cite journal |doi = 10.1016/j.csda.2009.09.018|title = Efficient Monte Carlo computation of Fisher information matrix using prior information|journal = Computational Statistics & Data Analysis|volume = 54|issue = 2|pages = 272–289|year = 2010|last1 = Das|first1 = Sonjoy|last2 = Spall|first2 = James C.|last3 = Ghanem|first3 = Roger}}</ref>
    
蒙特卡罗方法也是近似随机和排列检验之间的折衷。近似随机化测试是基于所有排列的特定子集(这可能需要大量的内务处理，其中的排列经过充分考虑)。蒙特卡罗方法是基于指定数量的随机排列(如果一个排列被绘制两次或更频繁，则在精度上有较小的损失，因为不必跟踪哪些排列已经被选择)。
 
蒙特卡罗方法也是近似随机和排列检验之间的折衷。近似随机化测试是基于所有排列的特定子集(这可能需要大量的内务处理，其中的排列经过充分考虑)。蒙特卡罗方法是基于指定数量的随机排列(如果一个排列被绘制两次或更频繁，则在精度上有较小的损失，因为不必跟踪哪些排列已经被选择)。
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蒙特卡罗树搜索(MCTS)方法有四个步骤：<ref name=":46">{{cite web|url=http://mcts.ai/about/index.html|title=Monte Carlo Tree Search - About|access-date=2013-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20151129023043/http://mcts.ai/about/index.html|archive-date=2015-11-29|url-status=dead}}</ref>
 
蒙特卡罗树搜索(MCTS)方法有四个步骤：<ref name=":46">{{cite web|url=http://mcts.ai/about/index.html|title=Monte Carlo Tree Search - About|access-date=2013-05-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20151129023043/http://mcts.ai/about/index.html|archive-date=2015-11-29|url-status=dead}}</ref>
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# 从树的根节点开始，选择最佳的子节点，直到达到叶节点。
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# 展开叶节点并选择其中一个子节点。
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1、从树的根节点开始，选择最佳的子节点，直到达到叶节点。
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2、展开叶节点并选择其中一个子节点。
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# 以该节点开始玩一个模拟游戏。
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3、以该节点开始玩一个模拟游戏。
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# 使用模拟游戏的结果来更新节点及其祖先。
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4、使用模拟游戏的结果来更新节点及其祖先。
    
在许多模拟游戏过程中，净效应是代表移动的一个节点将上升或下降的值，希望与该节点移动的结果（无论好坏）相对应。
 
在许多模拟游戏过程中，净效应是代表移动的一个节点将上升或下降的值，希望与该节点移动的结果（无论好坏）相对应。
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蒙特卡洛树搜索已成功地用于游戏，如围棋<ref name=":47">Chaslot, Guillaume M. J. -B; Winands, Mark H. M; Van Den Herik, H. Jaap (2008). ''Parallel Monte-Carlo Tree Search''. Lecture Notes in Computer Science. '''5131'''. pp. 60–71. CiteSeerX 10.1.1.159.4373. doi:10.1007/978-3-540-87608-3_6. ISBN <bdi>978-3-540-87607-6</bdi>.</ref>， 《彩虹棋》<ref name=":48">Bruns, Pete. Monte-Carlo Tree Search in the game of Tantrix: Cosc490 Final Report (PDF) (Report).</ref>，《海战棋》<ref name=":49">David Silver; Joel Veness. "Monte-Carlo Planning in Large POMDPs" (PDF). ''0.cs.ucl.ac.uk''. Retrieved 28 October 2017.</ref>，《三宝棋》<ref name=":50">Lorentz, Richard J (2011). "Improving Monte–Carlo Tree Search in Havannah". ''Computers and Games''. Lecture Notes in Computer Science. '''6515'''. pp. 105–115. Bibcode:2011LNCS.6515..105L. doi:10.1007/978-3-642-17928-0_10. ISBN <bdi>978-3-642-17927-3</bdi>.</ref>和印度斗兽棋<ref name=":51">Tomas Jakl. "Arimaa challenge – comparison study of MCTS versus alpha-beta methods" (PDF). ''Arimaa.com''. Retrieved 28 October 2017.</ref>。
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蒙特卡洛树搜索已成功地用于游戏，如围棋<ref name=":47">Chaslot, Guillaume M. J. -B; Winands, Mark H. M; Van Den Herik, H. Jaap (2008). ''Parallel Monte-Carlo Tree Search''. Lecture Notes in Computer Science. '''5131'''. pp. 60–71. CiteSeerX 10.1.1.159.4373. doi:10.1007/978-3-540-87608-3_6. ISBN <bdi>978-3-540-87607-6</bdi>.</ref>，彩虹棋<ref name=":48">Bruns, Pete. Monte-Carlo Tree Search in the game of Tantrix: Cosc490 Final Report (PDF) (Report).</ref>，海战棋<ref name=":49">David Silver; Joel Veness. "Monte-Carlo Planning in Large POMDPs" (PDF). ''0.cs.ucl.ac.uk''. Retrieved 28 October 2017.</ref>，《三宝棋》<ref name=":50">Lorentz, Richard J (2011). "Improving Monte–Carlo Tree Search in Havannah". ''Computers and Games''. Lecture Notes in Computer Science. '''6515'''. pp. 105–115. Bibcode:2011LNCS.6515..105L. doi:10.1007/978-3-642-17928-0_10. ISBN <bdi>978-3-642-17927-3</bdi>.</ref>和印度斗兽棋<ref name=":51">Tomas Jakl. "Arimaa challenge – comparison study of MCTS versus alpha-beta methods" (PDF). ''Arimaa.com''. Retrieved 28 October 2017.</ref>。
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{{See also|Computer Go}}
      
===设计与视觉效果===
 
===设计与视觉效果===
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在金融领域中，蒙特卡罗方法经常被用于评估业务单位或公司层面的项目投资，或其他金融估值。它们可以用来模拟项目进度，其中模拟汇总了对最坏情况、最好情况和每个任务最可能持续时间的估计，以确定整个项目的结果[https://risk.octigo.pl/]蒙特卡罗方法也用于期权定价，违约风险分析。<ref name=":56">Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Carmona, René A.; Moral, Pierre Del; Hu, Peng; et al. (eds.). ''An Introduction to Particle Methods with Financial Applications''. ''Numerical Methods in Finance''. Springer Proceedings in Mathematics. '''12'''. Springer Berlin Heidelberg. pp. 3–49. CiteSeerX 10.1.1.359.7957. doi:10.1007/978-3-642-25746-9_1. ISBN <bdi>978-3-642-25745-2</bdi>.</ref><ref name=":57">Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). ''Numerical Methods in Finance''. Springer Proceedings in Mathematics. '''12'''. doi:10.1007/978-3-642-25746-9. ISBN <bdi>978-3-642-25745-2</bdi>.</ref><ref name="kr11">Kroese, D. P.; Taimre, T.; Botev, Z. I. (2011). ''Handbook of Monte Carlo Methods''. John Wiley & Sons.</ref>此外，它们还可以用来估计医疗干预的财务影响。<ref name=":58">Arenas, Daniel J.; Lett, Lanair A.; Klusaritz, Heather; Teitelman, Anne M. (2017). "A Monte Carlo simulation approach for estimating the health and economic impact of interventions provided at a student-run clinic". ''PLOS ONE''. '''12''' (12): e0189718. Bibcode:2017PLoSO..1289718A. doi:10.1371/journal.pone.0189718. PMC 5746244. <nowiki>PMID 29284026</nowiki>.</ref>
 
在金融领域中，蒙特卡罗方法经常被用于评估业务单位或公司层面的项目投资，或其他金融估值。它们可以用来模拟项目进度，其中模拟汇总了对最坏情况、最好情况和每个任务最可能持续时间的估计，以确定整个项目的结果[https://risk.octigo.pl/]蒙特卡罗方法也用于期权定价，违约风险分析。<ref name=":56">Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). Carmona, René A.; Moral, Pierre Del; Hu, Peng; et al. (eds.). ''An Introduction to Particle Methods with Financial Applications''. ''Numerical Methods in Finance''. Springer Proceedings in Mathematics. '''12'''. Springer Berlin Heidelberg. pp. 3–49. CiteSeerX 10.1.1.359.7957. doi:10.1007/978-3-642-25746-9_1. ISBN <bdi>978-3-642-25745-2</bdi>.</ref><ref name=":57">Carmona, René; Del Moral, Pierre; Hu, Peng; Oudjane, Nadia (2012). ''Numerical Methods in Finance''. Springer Proceedings in Mathematics. '''12'''. doi:10.1007/978-3-642-25746-9. ISBN <bdi>978-3-642-25745-2</bdi>.</ref><ref name="kr11">Kroese, D. P.; Taimre, T.; Botev, Z. I. (2011). ''Handbook of Monte Carlo Methods''. John Wiley & Sons.</ref>此外，它们还可以用来估计医疗干预的财务影响。<ref name=":58">Arenas, Daniel J.; Lett, Lanair A.; Klusaritz, Heather; Teitelman, Anne M. (2017). "A Monte Carlo simulation approach for estimating the health and economic impact of interventions provided at a student-run clinic". ''PLOS ONE''. '''12''' (12): e0189718. Bibcode:2017PLoSO..1289718A. doi:10.1371/journal.pone.0189718. PMC 5746244. <nowiki>PMID 29284026</nowiki>.</ref>
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=== 法律===
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===法律===
 
蒙特卡洛方法曾用来评估一项提案的潜在价值，这项提案旨在帮助威斯康星州的女性请愿者成功申请骚扰和家庭虐待限制令。通过帮助妇女完成请愿，向她们提供更多的宣传，从而有可能减少强奸和人身攻击的风险。然而，还有许多变量无法完全估计，包括限制令的有效性，上访者的成功率，以及许多其他因素。该研究通过试验来改变这些变量，从而对整个计划的成功程度进行总体估计。<ref name="montecarloanalysis">Elwart, Liz; Emerson, Nina; Enders, Christina; Fumia, Dani; Murphy, Kevin (December 2006). "Increasing Access to Restraining Orders for Low Income Victims of Domestic Violence: A Cost-Benefit Analysis of the Proposed Domestic Abuse Grant Program" (PDF). State Bar of Wisconsin. Archived from the original (PDF) on 6 November 2018. Retrieved 2016-12-12.</ref>
 
蒙特卡洛方法曾用来评估一项提案的潜在价值，这项提案旨在帮助威斯康星州的女性请愿者成功申请骚扰和家庭虐待限制令。通过帮助妇女完成请愿，向她们提供更多的宣传，从而有可能减少强奸和人身攻击的风险。然而，还有许多变量无法完全估计，包括限制令的有效性，上访者的成功率，以及许多其他因素。该研究通过试验来改变这些变量，从而对整个计划的成功程度进行总体估计。<ref name="montecarloanalysis">Elwart, Liz; Emerson, Nina; Enders, Christina; Fumia, Dani; Murphy, Kevin (December 2006). "Increasing Access to Restraining Orders for Low Income Victims of Domestic Violence: A Cost-Benefit Analysis of the Proposed Domestic Abuse Grant Program" (PDF). State Bar of Wisconsin. Archived from the original (PDF) on 6 November 2018. Retrieved 2016-12-12.</ref>
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== 数学应用==
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==数学应用==
 
一般来说，蒙特卡罗方法在数学中通过产生合适的随机数(也见随机数产生)和观察符合某些性质的数字分数来解决各种问题。对于过于复杂而无法用解析方法求解的问题，这种方法是有用的。蒙特卡罗方法最常见的应用是蒙特卡罗积分。
 
一般来说，蒙特卡罗方法在数学中通过产生合适的随机数(也见随机数产生)和观察符合某些性质的数字分数来解决各种问题。对于过于复杂而无法用解析方法求解的问题，这种方法是有用的。蒙特卡罗方法最常见的应用是蒙特卡罗积分。
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===积分===
 
===积分===
 
蒙特卡罗积分是通过比较随机点和函数值来工作的|链接=Special:FilePath/Monte-carlo2.gif]]
 
蒙特卡罗积分是通过比较随机点和函数值来工作的|链接=Special:FilePath/Monte-carlo2.gif]]
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===逆问题===
 
===逆问题===
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逆问题的概率公式引出了模型空间中概率分布的定义。这种概率分布结合了先验信息和通过测量一些可观测参数(数据)获得的新信息。由于在一般情况下，将数据与模型参数联系起来的理论是非线性的，模型空间中的后验概率可能不容易描述(可能是多模态的，有些矩可能没有定义等)。
 
逆问题的概率公式引出了模型空间中概率分布的定义。这种概率分布结合了先验信息和通过测量一些可观测参数(数据)获得的新信息。由于在一般情况下，将数据与模型参数联系起来的理论是非线性的，模型空间中的后验概率可能不容易描述(可能是多模态的，有些矩可能没有定义等)。
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* {{cite journal |doi = 10.1002/prot.340150104 |title = Insertion of peptide chains into lipid membranes: an off-lattice Monte Carlo dynamics model |first1 = M. |last1 = Milik |first2 = J. |last2 = Skolnick |journal = Proteins |volume = 15 |issue = 1 |pages = 10–25 |date=Jan 1993 |pmid = 8451235 |s2cid = 7450512 |url = https://semanticscholar.org/paper/793bd7ab0e505ef5d12ed2f0798b22675e088407 }}
 
* {{cite journal |doi = 10.1002/prot.340150104 |title = Insertion of peptide chains into lipid membranes: an off-lattice Monte Carlo dynamics model |first1 = M. |last1 = Milik |first2 = J. |last2 = Skolnick |journal = Proteins |volume = 15 |issue = 1 |pages = 10–25 |date=Jan 1993 |pmid = 8451235 |s2cid = 7450512 |url = https://semanticscholar.org/paper/793bd7ab0e505ef5d12ed2f0798b22675e088407 }}
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* {{cite journal |last1 = Mosegaard |first1 = Klaus |last2 = Tarantola |first2 = Albert |year = 1995 |title = Monte Carlo sampling of solutions to inverse problems |journal = J. Geophys. Res. |volume = 100 |number =B7 |pages = 12431–12447 |doi = 10.1029/94JB03097 |url = http://www.math.pitt.edu/~cbsg/Materials/MonteCarlo_latex.pdf |bibcode = 1995JGR...10012431M }}
 
* {{cite journal |last1 = Mosegaard |first1 = Klaus |last2 = Tarantola |first2 = Albert |year = 1995 |title = Monte Carlo sampling of solutions to inverse problems |journal = J. Geophys. Res. |volume = 100 |number =B7 |pages = 12431–12447 |doi = 10.1029/94JB03097 |url = http://www.math.pitt.edu/~cbsg/Materials/MonteCarlo_latex.pdf |bibcode = 1995JGR...10012431M }}
第341行： 第338行：     
* {{cite book |title = Simulation and the Monte Carlo Method |last1 = Rubinstein |first1 = R. Y. |last2 = Kroese |first2 = D. P. |year=2007 |edition=2nd |publisher = John Wiley & Sons |location=New York |isbn = 978-0-470-17793-8 |url =  }}
 
* {{cite book |title = Simulation and the Monte Carlo Method |last1 = Rubinstein |first1 = R. Y. |last2 = Kroese |first2 = D. P. |year=2007 |edition=2nd |publisher = John Wiley & Sons |location=New York |isbn = 978-0-470-17793-8 |url =  }}
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Category:Numerical analysis
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类别: 数值分析
      
* {{cite journal |last = Savvides |first = Savvakis C. |title = Risk Analysis in Investment Appraisal |journal= Project Appraisal Journal |year= 1994 |volume = 9 |issue= 1 |doi = 10.2139/ssrn.265905 |url = https://mpra.ub.uni-muenchen.de/10035/1/MPRA_paper_10035.pdf }}
 
* {{cite journal |last = Savvides |first = Savvakis C. |title = Risk Analysis in Investment Appraisal |journal= Project Appraisal Journal |year= 1994 |volume = 9 |issue= 1 |doi = 10.2139/ssrn.265905 |url = https://mpra.ub.uni-muenchen.de/10035/1/MPRA_paper_10035.pdf }}
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Category:Statistical mechanics
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类别: 统计力学
      
* {{cite book |last1 = Sawilowsky |first1 = Shlomo S. |last2 = Fahoome |first2 = Gail C. |year = 2003 |title = Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran |location = Rochester Hills, MI |publisher = JMASM |isbn=978-0-9740236-0-1  }}
 
* {{cite book |last1 = Sawilowsky |first1 = Shlomo S. |last2 = Fahoome |first2 = Gail C. |year = 2003 |title = Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran |location = Rochester Hills, MI |publisher = JMASM |isbn=978-0-9740236-0-1  }}
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Category:Computational physics
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类别: 计算物理学
      
* {{cite journal |last = Sawilowsky |first = Shlomo S. |title = You think you've got trivials? |journal=[[Journal of Modern Applied Statistical Methods]] |volume=2 |issue=1 |pages=218–225 |year=2003 |url = https://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1744&context=jmasm |doi = 10.22237/jmasm/1051748460  |doi-access = free }}
 
* {{cite journal |last = Sawilowsky |first = Shlomo S. |title = You think you've got trivials? |journal=[[Journal of Modern Applied Statistical Methods]] |volume=2 |issue=1 |pages=218–225 |year=2003 |url = https://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1744&context=jmasm |doi = 10.22237/jmasm/1051748460  |doi-access = free }}
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Category:Sampling techniques
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类别: 抽样技术
      
* {{cite conference |conference = Neural Information Processing Systems 2010 |last1 = Silver |first1 = David |last2 = Veness |first2 = Joel |year = 2010 |title = Monte-Carlo Planning in Large POMDPs |url = http://books.nips.cc/papers/files/nips23/NIPS2010_0740.pdf |editor1-last = Lafferty |editor1-first = J. |editor2-last = Williams |editor2-first = C. K. I. |editor3-last = Shawe-Taylor |editor3-first = J. |editor4-last = Zemel |editor4-first = R. S. |editor5-last = Culotta |editor5-first = A. |book-title = Advances in Neural Information Processing Systems 23 |publisher = Neural Information Processing Systems Foundation }}
 
* {{cite conference |conference = Neural Information Processing Systems 2010 |last1 = Silver |first1 = David |last2 = Veness |first2 = Joel |year = 2010 |title = Monte-Carlo Planning in Large POMDPs |url = http://books.nips.cc/papers/files/nips23/NIPS2010_0740.pdf |editor1-last = Lafferty |editor1-first = J. |editor2-last = Williams |editor2-first = C. K. I. |editor3-last = Shawe-Taylor |editor3-first = J. |editor4-last = Zemel |editor4-first = R. S. |editor5-last = Culotta |editor5-first = A. |book-title = Advances in Neural Information Processing Systems 23 |publisher = Neural Information Processing Systems Foundation }}
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Category:Statistical approximations
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类别: 统计近似值
      
* {{cite book |first = László |last = Szirmay-Kalos |title = Monte Carlo Methods in Global Illumination - Photo-realistic Rendering with Randomization |publisher = VDM Verlag Dr. Mueller e.K. |year = 2008 |isbn = 978-3-8364-7919-6 }}
 
* {{cite book |first = László |last = Szirmay-Kalos |title = Monte Carlo Methods in Global Illumination - Photo-realistic Rendering with Randomization |publisher = VDM Verlag Dr. Mueller e.K. |year = 2008 |isbn = 978-3-8364-7919-6 }}
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Category:Stochastic simulation
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类别: 随机模拟
      
* {{cite book |title = Inverse Problem Theory |last = Tarantola |first = Albert |author-link = Albert Tarantola |year = 2005 |publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics |location = Philadelphia |isbn = 978-0-89871-572-9 |url = http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/Files/Professional/SIAM/index.html }}
 
* {{cite book |title = Inverse Problem Theory |last = Tarantola |first = Albert |author-link = Albert Tarantola |year = 2005 |publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics |location = Philadelphia |isbn = 978-0-89871-572-9 |url = http://www.ipgp.jussieu.fr/~tarantola/Files/Professional/SIAM/index.html }}
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Category:Randomized algorithms
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类别: 随机算法
      
* {{cite book |first = David |last = Vose |title = Risk Analysis, A Quantitative Guide |edition = 3rd |publisher =[[John Wiley & Sons]] |year = 2008 }}
 
* {{cite book |first = David |last = Vose |title = Risk Analysis, A Quantitative Guide |edition = 3rd |publisher =[[John Wiley & Sons]] |year = 2008 }}
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Category:Risk analysis methodologies
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类别: 风险分析方法
      
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