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上图展示了从左图原始网络通过断边的方式得到右侧的生成树的过程。并且对于右侧的生成树计算A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>的数值标在了右图上。其中圆圈里的数值为该节点的A<sub>i</sub>，而圆圈旁边的数值为C<sub>i</sub>。显然一个网络可以得到很多种不同的生成树，于是Garlaschelli不得不对所有原始网络的生成树来做平均。Garlaschelli通过分析大量的食物网，发现A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>存在着普适的幂律关系，并且幂指数都是1.13左右，如下图：
上图展示了从左图原始网络通过断边的方式得到右侧的生成树的过程。并且对于右侧的生成树计算A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>的数值标在了右图上。其中圆圈里的数值为该节点的A<sub>i</sub>，而圆圈旁边的数值为C<sub>i</sub>。显然一个网络可以得到很多种不同的生成树，于是Garlaschelli不得不对所有原始网络的生成树来做平均。Garlaschelli通过分析大量的食物网，发现A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>存在着普适的幂律关系，并且幂指数都是1.13左右，如下图：
[[文件:Garlaschelli.png|左|无框|500x500像素]]
进一步，Garlashelli和Banavar的研究都指出，幂指数η可以用来衡量输运网络（食物网）的输运效率。可以证明对于树状结构来说，η数值介于1和2之间，1、2所对应的树状结构如下图所示：
进一步，Garlashelli和Banavar的研究都指出，幂指数η可以用来衡量输运网络（食物网）的输运效率。可以证明对于树状结构来说，η数值介于1和2之间，1、2所对应的树状结构如下图所示：
[[文件:Image3.png|左|无框]]
在上图的两个网络中都有8个节点，按照Banavar的假设，每个节点的耗散流都是1。所以该网络根节点的总入流就是8。这些流通过连边的输运在保持流量平衡的条件下运给每一个节点。如果我们定义整个网络的输运效率是每条边上总流量的和的倒数，那么显然左图链状网络会比右图星状网络更没有效率。当网络的节点数增多趋于无穷，左边网络的幂律指数η=2，而右图星型网络的幂指数η=1。所以η越小，网络的输运效率就越高，反之输运效率就低。
在上图的两个网络中都有8个节点，按照Banavar的假设，每个节点的耗散流都是1。所以该网络根节点的总入流就是8。这些流通过连边的输运在保持流量平衡的条件下运给每一个节点。如果我们定义整个网络的输运效率是每条边上总流量的和的倒数，那么显然左图链状网络会比右图星状网络更没有效率。当网络的节点数增多趋于无穷，左边网络的幂律指数η=2，而右图星型网络的幂指数η=1。所以η越小，网络的输运效率就越高，反之输运效率就低。
同理，我们也可以从另一个角度理解C<sub>i</sub>，假如所有流经i节点的粒子都被染成红色，那么C<sub>i</sub>刚好就是存在于整个网络上的红色粒子数<ref name="scalingbehavior">{{cite journal|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Liangpeng|last2=Guo|title=Scaling Behaviors of Weighted Food Webs as Transportation Networks|journal=Theoretical Biology|volume=264|page=760-770|year=2010}}</ref>。对于Banavar最优网络，这部分红色粒子恰好分布在以i为根的子树上了。如下图所示：
同理，我们也可以从另一个角度理解C<sub>i</sub>，假如所有流经i节点的粒子都被染成红色，那么C<sub>i</sub>刚好就是存在于整个网络上的红色粒子数<ref name="scalingbehavior">{{cite journal|first1=Jiang|last1=Zhang|first2=Liangpeng|last2=Guo|title=Scaling Behaviors of Weighted Food Webs as Transportation Networks|journal=Theoretical Biology|volume=264|page=760-770|year=2010}}</ref>。对于Banavar最优网络，这部分红色粒子恰好分布在以i为根的子树上了。如下图所示：
[[File:Examplenetworkbinaryandflow.png|400px|图1 示例网络的A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>]]
[[文件:Banavar最优网络.png|无框|446x446像素]]
左图是一个示例的树结构，右图是计算A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>所隐含的流网络前提，其中A<sub>i</sub>是通过节点i的流量，C<sub>i</sub>是子树上的总流量，也就是所有红色粒子总数。
左图是一个示例的树结构，右图是计算A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>所隐含的流网络前提，其中A<sub>i</sub>是通过节点i的流量，C<sub>i</sub>是子树上的总流量，也就是所有红色粒子总数。
例如对于下图左边的一般网络来说：
例如对于下图左边的一般网络来说：
[[文件:Image4.png|左|无框|444x444像素]]
每个节点的A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>计算的数值如右图所示（圆圈内的数字为A<sub>i</sub>，外面的数字为C<sub>i</sub>）。
每个节点的A<sub>i</sub>和C<sub>i</sub>计算的数值如右图所示（圆圈内的数字为A<sub>i</sub>，外面的数字为C<sub>i</sub>）。
文献<ref name="scalingbehavior"/>研究了21个生态流网络的异速标度律情况，如下图所示：
文献<ref name="scalingbehavior"/>研究了21个生态流网络的异速标度律情况，如下图所示：
[[文件:21个生态流网络的异速标度律.png|居中|无框|465x465像素]]
[[File:Ecologicalnetworkallometry.png|400px]]
图示了4个生态流网络的异速标度律在双对数坐标系下的拟合情况。我们可以看出，对于这四个网络来说，A<sub>i</sub>、C<sub>i</sub>的散点分布得非常接近于异速标度律那条直线，而且斜率，也就是幂指数η非常接近于1。下表则列出了更多的生态流网络的异速标度律：
图示了4个生态流网络的异速标度律在双对数坐标系下的拟合情况。我们可以看出，对于这四个网络来说，A<sub>i</sub>、C<sub>i</sub>的散点分布得非常接近于异速标度律那条直线，而且斜率，也就是幂指数η非常接近于1。下表则列出了更多的生态流网络的异速标度律：
有趣的是，国际贸易网中的流量数据还包含了具体的产品种类，也就是说，我们可以按照产品种类的不同而把原始的国际贸易流量网分解成一系列的子流网络，每个子网络对应一种产品，参见[[国际贸易网]]。我们可以分别计算这些产品对应流网络的异速标度律，从而计算它们的异速标度指数。
有趣的是，国际贸易网中的流量数据还包含了具体的产品种类，也就是说，我们可以按照产品种类的不同而把原始的国际贸易流量网分解成一系列的子流网络，每个子网络对应一种产品，参见[[国际贸易网]]。我们可以分别计算这些产品对应流网络的异速标度律，从而计算它们的异速标度指数。
[[文件:Power-generating equipment.png|居中|无框|389x389像素]]
[[File:Tradenetworkallometrypowergenerator.png|400px]]
该图展示的是Power-generating equipment即发电设备这种产品的异速标度律图，其中幂指数η=1.14显著大于1。下图展示了该商品的贸易网络：
[[index.php%3Ftitle=文件:Tradenetworkpowergenerator.png|替代=|居中|无框|400x400像素]]
我们看到少数几个大国（美国、日本等国）作为大的出口国控制了整个网络，该网络属于中心化的。
我们看到少数几个大国（美国、日本等国）作为大的出口国控制了整个网络，该网络属于中心化的。
与此形成对比的是蔬菜和水果这类产品构成的贸易网络，如图：
与此形成对比的是蔬菜和水果这类产品构成的贸易网络，如图：
[[index.php%3Ftitle=文件:Tradenetworkvegetable.png|替代=|居中|434x434像素]]
[[File:Tradenetworkvegetable.png|400px]]
在该网络中，那些大节点（流量A<sub>i</sub>大，如美国、德国）基本都是进口国，即贸易逆差的国家（红色节点）。也就是说它们处于整个蔬菜水果贸易的末端，因此，流经它们的商品在整个网络中不会有很大的影响范围，所以它们的C<sub>i</sub>不会太大，这样，该网络就会具有较小的幂指数，事实上该网络的η=1.04，远比发电设备产品的幂指数小。
在该网络中，那些大节点（流量A<sub>i</sub>大，如美国、德国）基本都是进口国，即贸易逆差的国家（红色节点）。也就是说它们处于整个蔬菜水果贸易的末端，因此，流经它们的商品在整个网络中不会有很大的影响范围，所以它们的C<sub>i</sub>不会太大，这样，该网络就会具有较小的幂指数，事实上该网络的η=1.04，远比发电设备产品的幂指数小。
进一步，文章作者对将近800种商品子网络计算了η，得到了下面的统计图：
进一步，文章作者对将近800种商品子网络计算了η，得到了下面的统计图：
[[File:Tradenetworketadistribution.png|400px]]
[[File:Tradenetworketadistribution.png|492x492px]]
该图的横坐标是η数值，纵坐标是该数值在这800个商品网络中出现的频率。通过这张图，我们能看出大部分商品的η值集中在1.09附近，也就是说这些产品的贸易网络大体上是中心化的。
该图的横坐标是η数值，纵坐标是该数值在这800个商品网络中出现的频率。通过这张图，我们能看出大部分商品的η值集中在1.09附近，也就是说这些产品的贸易网络大体上是中心化的。
======指数η与PRODY及国外附加值比例的相关性======
======指数η与PRODY及国外附加值比例的相关性======
[[文件:指数η与PRODY及国外附加值比例的相关性.png|居中|无框|414x414像素]]
[[File:eta_prody_valueadded.png|500px]]
左边图中，纵轴是一种产品的指数η，横轴是PRODY，右边图中，纵轴是指数η，横轴是该种产品国外附加值占总出口的比例。
左边图中，纵轴是一种产品的指数η，横轴是PRODY，右边图中，纵轴是指数η，横轴是该种产品国外附加值占总出口的比例。
[[File:Gammaandetaecologicalnetwork.png|400px]]
[[File:Gammaandetaecologicalnetwork.png|521x521px]]
该图展示了19个生态流网络的耗散律指数γ与异速标度律指数η之间的关系，其中蓝色的线为原始数据点，而红色的线是经过算法调整，去除原始数据噪音后的结果。我们看到了两个指数存在着明显的负相关。但是，我们由于有噪声的存在，以及网络的结构的影响，因此，这两个指数的负相关并不严格成立。
该图展示了19个生态流网络的耗散律指数γ与异速标度律指数η之间的关系，其中蓝色的线为原始数据点，而红色的线是经过算法调整，去除原始数据噪音后的结果。我们看到了两个指数存在着明显的负相关。但是，我们由于有噪声的存在，以及网络的结构的影响，因此，这两个指数的负相关并不严格成立。
tions in food webs|first1=F.|last1=Frank|first2=D.|last2=Murrell|journal=Ecology|year=2005|volume=86|page=325-3263}}</ref>中的模型，通过调整参数β和θ，生成了各种形状的树。然后我们计算这些树的异速标度律指数与网络的鲁棒性之间的关系，得到下图：
tions in food webs|first1=F.|last1=Frank|first2=D.|last2=Murrell|journal=Ecology|year=2005|volume=86|page=325-3263}}</ref>中的模型，通过调整参数β和θ，生成了各种形状的树。然后我们计算这些树的异速标度律指数与网络的鲁棒性之间的关系，得到下图：
[[File:etaandrobustnesstrees.png|400px]]
[[File:etaandrobustnesstrees.png|454x454px]]
我们可以清楚地看出异速标度律指数η与鲁棒性之间的负相关。其中红色拟合直线的斜率为-7.26。
我们可以清楚地看出异速标度律指数η与鲁棒性之间的负相关。其中红色拟合直线的斜率为-7.26。
下面我们考察实际的生态流网络与网络鲁棒性之间的关系。还是采用上述21个生态流网络，我们将它们的异速标度律指数和鲁棒性的关系画出来如下图：
下面我们考察实际的生态流网络与网络鲁棒性之间的关系。还是采用上述21个生态流网络，我们将它们的异速标度律指数和鲁棒性的关系画出来如下图：
[[File:etarobustecological.png|800px]]
[[File:etarobustecological.png|634x634px]]
我们看到η和r的确存在着负相关，但是这种相关性并不十分显著，这可能是跟因为鲁棒性指标对于网络的结构而非流量的分布更敏感。
我们看到η和r的确存在着负相关，但是这种相关性并不十分显著，这可能是跟因为鲁棒性指标对于网络的结构而非流量的分布更敏感。
下面我们再来考察不同商品构成的贸易流网络的η与鲁棒性r之间的关系：
下面我们再来考察不同商品构成的贸易流网络的η与鲁棒性r之间的关系：
[[File:etaandrobustnessinternationaltrade.png|800px]]
[[File:etaandrobustnessinternationaltrade.png|636x636px]]
对于不同商品的国际贸易网络来说，这种异速标度律指数与鲁棒性r之间的关系从图形上看，似乎更加明显。
对于不同商品的国际贸易网络来说，这种异速标度律指数与鲁棒性r之间的关系从图形上看，似乎更加明显。