更改

平均场理论 (查看源代码)

2021年11月21日 (日) 21:00的版本

删除32字节、 2021年11月21日 (日) 21:00

第13行：第13行：

此后，平均场论被广泛应用于物理学及其以外的领域，包括推论统计学、图形模型、神经科学<ref name=":1" />、人工智能、传染病模型<ref name=":2" />、排队论<ref name=":3" />、计算机网络性能和博弈论<ref name=":4" />，量子反应均衡等。

−

+

== Origins 起源 ==

−

== Origins ==

The ideas first appeared in physics ([[statistical mechanics]]) in the work of [[Pierre Curie]]<ref name=":5">{{Cite journal | last1 = Kadanoff | first1 = L. P. | authorlink1 = Leo Kadanoff| title = More is the Same; Phase Transitions and Mean Field Theories | doi = 10.1007/s10955-009-9814-1 | journal = Journal of Statistical Physics | volume = 137 | issue = 5–6 | pages = 777–797 | year = 2009 | arxiv = 0906.0653| pmid = | pmc = |bibcode = 2009JSP...137..777K | s2cid = 9074428 }}</ref> and [[Pierre Weiss]] to describe [[phase transitions]].<ref name=":6">{{cite journal | title = L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique | first = Pierre | last = Weiss | authorlink = Pierre Weiss | journal = J. Phys. Theor. Appl. | volume = 6 | issue = 1 | year= 1907 | pages= 661–690 | doi = 10.1051/jphystap:019070060066100 | url = http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241247/en }}</ref> MFT has been used in the [[Bragg–Williams approximation]], models on [[Bethe lattice]], [[Landau theory]], [[Pierre–Weiss approximation]], [[Flory–Huggins solution theory]], and [[Scheutjens–Fleer theory]].

这个想法最早出现在物理学的统计力学中，由 Pierre Curie<ref name=":5" /> 和 Pierre Weiss 描述相变<ref name=":6" />的著作中。平均场论在 Bragg-Williams 近似、 Bethe 晶格模型、 Landau 理论、 Pierre-Weiss 近似、 Flory-Huggins 解理论和 Scheutjens-Fleer 理论中都有应用。

−

第28行：第23行：

具有许多(有时是无数个)自由度的系统，除了一些简单的情况(例如:高斯随机场理论，一维伊辛模型)，通常难以精确地求解或以封闭的解析形式计算。一个复杂的组合问题的出现使得计算一个系统的配分函数变得困难。平均场论是一种近似方法，它常常使原问题变得可解，易于计算。有时，平均场论可以给出非常精确的近似值。

−

第35行：第28行：

在场论中，哈密顿量可以根据场平均周围起伏的大小来展计算。在这种背景下，平均场论可以看作是哈密顿量在涨落中的“零阶”展开。物理上，这意味着平均场系统没有波动，但这与“平均场”取代所有相互作用的观点不谋而合。

−

第42行：第33行：

平均场论常常为研究高阶波动提供便利。例如，当计算配分函数时，研究哈密顿量中相互作用项的组合有时候最多能产生微扰结果，或可以修正平均场近似值的费曼图。

−

== Validity ==

第51行：第39行：

一般来说，维数在确定平均场方法是否适用于任何特定问题时起着重要作用。有时存在一个[临界维度]，高于该临界维度的平均场论有效，低于该维度的平均场论无效。

−

第58行：第45行：

由此，平均场论中的许多相互作用会被一个有效的相互作用所取代。如果场或粒子在原系统中表现出许多随机相互作用，它们往往会相互抵消，从而使平均有效相互作用和平均场论更加精确。这在高维情况下也是成立的，比如当哈密顿量包括远程力时，或者当粒子被扩展时(例如:聚合物)。金兹堡准则是衡量一个近似不好的平均场如何波动的表达式，通常取决于系统中的空间维数。

−

==Formal approach (Hamiltonian)==

第69行：第53行：

平均场理论的形式基础是波格留波夫不等式。这个不等式说明了哈密顿量系统的自由能

−

<math>\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}</math>

+

<math>\mathcal{H} = \mathcal{H}_0 + \Delta \mathcal{H}</math>

−

第78行：第61行：

上界:

−

+

<math>F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H} \rangle_0 - T S_0,</math>

−

<math>F \leq F_0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \langle \mathcal{H} \rangle_0 - T S_0,</math>

−

第90行：第68行：

其中，<math>S_0</math>是熵，而 <math>F</math>和<math>F_0</math>是亥姆霍兹自由能。平均值取参考系平衡系综的哈密顿量。在特殊情况下，参考哈密顿量是非相互作用系统的哈密顿量<math>\mathcal{H}_0</math>，因此可以写成

−

<math>\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),</math>

+

<math>\mathcal{H}_0 = \sum_{i=1}^N h_i(\xi_i),</math>

第97行：第75行：

<math>\xi_i</math> 是我们的统计系统的各个组成部分(原子、自旋等等)的自由度，我们可以考虑通过最小化不平等的右边来加强上限。最小化参考系是使用不相关自由度的真实系统的“最佳”近似，被称为平均场近似。

−

第105行：第82行：

对于最常见的情况，目标哈密顿函数只包含成对相互作用，例如,

−

+

<math>\mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),</math>

−

<math>\mathcal{H} = \sum_{(i,j) \in \mathcal{P}} V_{i,j}(\xi_i, \xi_j),</math>

where <math>\mathcal{P}</math> is the set of pairs that interact, the minimizing procedure can be carried out formally. Define <math>\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)</math> as the generalized sum of the observable <math>f</math> over the degrees of freedom of the single component (sum for discrete variables, integrals for continuous ones). The approximating free energy is given by

第113行：第88行：

其中<math>\mathcal{P}</math>是相互作用的对集合，最小化过程可以正式执行。定义<math>\operatorname{Tr}_i f(\xi_i)</math>为单个分量自由度上可观测的<math>f</math>的广义和(离散变量的和，连续变量的积分)。给出了近似自由能的表达式

−

:<math>\begin{align}

+

<math>\begin{align}

第136行：第111行：

结束{ align } </math >

−

where <math>P^{(N)}_0(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)</math> is the probability to find the reference system in the state specified by the variables <math>(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)</math>. This probability is given by the normalized [[Boltzmann factor]]

第172行：第145行：

结束{ align } </math >

−

where <math>Z_0</math> is the [[Partition function (statistical mechanics)|partition function]]. Thus

第202行：第173行：

结束{ align } </math >

−

In order to minimize, we take the derivative with respect to the single-degree-of-freedom probabilities <math>P^{(i)}_0</math> using a [[Lagrange multiplier]] to ensure proper normalization. The end result is the set of self-consistency equations

第209行：第178行：

为了得到最小化，我们对单自由度概率 <math>P^{(i)}_0</math> 求导，使用拉格朗日乘数来确保正确的归一化。最终得到的结果是自洽方程组

−

<math>P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,</math>

+

<math>P^{(i)}_0(\xi_i) = \frac{1}{Z_0} e^{-\beta h_i^{MF}(\xi_i)},\quad i = 1, 2, \ldots, N,</math>

where the mean field is given by

第215行：第184行：

平均场是为

−

<math>h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).~~</math><br />~~

+

<math>h_i^\text{MF}(\xi_i) = \sum_{\{j \mid (i,j) \in \mathcal{P}\}} \operatorname{Tr}_j V_{i,j}(\xi_i, \xi_j) P^{(j)}_0(\xi_j).</math>

−

~~<math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,~~</math>

+

<br /><math>H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} (m_i + \delta s_i) (m_j + \delta s_j) - h \sum_i s_i,</math>

==Applications 应用==

AvecSally

管理员

567

个编辑