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[[文件:KS_Example.png|缩略图|右|Kolmogorov–Smirnov统计数据的图示。 红线是累积分布函数，蓝线是经验分布函数，黑色箭头是K–S统计量。]]

[[文件:KS_Example.png|缩略图|右|Kolmogorov–Smirnov统计数据的图示。 红线是累积分布函数，蓝线是经验分布函数，黑色箭头是K–S统计量。]]

在统计学中，'''<font color="#ff8000"> Kolmogorov–Smirnov检验</font>'''（亦称'''K-S检验'''或'''KS检验'''）是一种连续（或不连续，请参见第2.2节）的一维概率分布均等性的非参数检验，可用于比较一个样本与一个参考概率分布（单一样本K-S检验），或比较两个样本（两个样本的K-S检验）。它是以安德雷·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov和尼古莱·斯米尔诺夫 Nikolai Smirnov的名字命名。

在统计学中，'''Kolmogorov–Smirnov检验'''（亦称'''K-S检验'''或'''KS检验'''）是一种连续（或不连续，请参见第2.2节）的一维概率分布均等性的非参数检验，可用于比较一个样本与一个参考概率分布（单一样本K-S检验），或比较两个样本（两个样本的K-S检验）。它是以安德雷·柯尔莫哥洛夫 Andrey Kolmogorov和尼古莱·斯米尔诺夫 Nikolai Smirnov的名字命名。

Kolmogorov-Smirnov统计定量描述了一个样本分布的'''<font color="#ff8000">经验分布函数 Empirical distribution function</font>'''与一个参考分布的'''<font color="#ff8000">累积分布函数 Cumulative distribution function</font>'''之间的距离，或者是两个样本分布的经验分布函数之间的距离。该统计量的'''<font color="#ff8000">零分布 Null distribution</font>'''是基于'''<font color="#ff8000">零假设Null hypothesis</font>'''（或称原始假设）下计算的，可以从参考分布中抽取样本（在单个样本的情况下），或者从相同分布中抽取样本组（在两个样本的情况下）。在单样本情况下，零假设（原假设）考虑的分布可能是连续的（请参阅第2节），纯离散的或混合的（请参阅第2.2节）。然而在考虑两个样本情况下（请参阅第3节），零假设下的分布仅能确定为连续分布，在其他方面并不受限制。

Kolmogorov-Smirnov统计定量描述了一个样本分布的'''<font color="#ff8000">经验分布函数 Empirical distribution function</font>'''与一个参考分布的'''<font color="#ff8000">累积分布函数 Cumulative distribution function</font>'''之间的距离，或者是两个样本分布的经验分布函数之间的距离。该统计量的'''<font color="#ff8000">零分布 Null distribution</font>'''是基于'''<font color="#ff8000">零假设 Null hypothesis</font>'''（或称原始假设）下计算的，可以从参考分布中抽取样本（在单个样本的情况下），或者从相同分布中抽取样本组（在两个样本的情况下）。在单样本情况下，零假设（原假设）考虑的分布可能是连续的（请参阅第2节），纯离散的或混合的（请参阅第2.2节）。然而在考虑两个样本情况下（请参阅第3节），零假设下的分布仅能确定为连续分布，在其他方面并不受限制。

这里要注意的是两个样本检验出来的数据样本是否来自同一分布。其并未指定该共同分布是什么（例如，它是正常还是不正常）。而且关键值表已经得出。Kolmogorov–Smirnov检验没有那么有效，因为它被设计为对两个分布函数之间所有可能的差异敏感。如刊登在Journal of Nonparametric Statistics2009年刊上Marozzi, Marco (2009)的文章《Some Notes on the Location-Scale Cucconi Test》<ref>{{cite journal |last1=Marozzi |first1=Marco |title=Some Notes on the Location-Scale Cucconi Test |journal=Journal of Nonparametric Statistics |date=2009 |volume=21 |issue=5 |page=629–647 |doi=10.1080/10485250902952435 }}</ref>和刊登在Communications in Statistics – Simulation and Computation2013年刊上同样Marozzi, Marco (2009)的文章《Nonparametric Simultaneous Tests for Location and Scale Testing: a Comparison of Several Methods》<ref>{{cite journal |last1=Marozzi |first1=Marco |title=Nonparametric Simultaneous Tests for Location and Scale Testing: a Comparison of Several Methods |journal=Communications in Statistics – Simulation and Computation |date=2013 |volume=42 |issue=6 |page=1298–1317 |doi=10.1080/03610918.2012.665546 }}</ref>显示了证据，当比较两个分布函数时，最初建议同时比较位置和比例的Cucconi检验比Kolmogorov-Smirnov检验更有效。

这里要注意的是两个样本检验出来的数据样本是否来自同一分布。其并未指定该共同分布是什么（例如，它是正常还是不正常）。而且关键值表已经得出。Kolmogorov–Smirnov检验没有那么有效，因为它被设计为对两个分布函数之间所有可能的差异敏感。如刊登在Journal of Nonparametric Statistics2009年刊上Marozzi, Marco (2009)的文章《Some Notes on the Location-Scale Cucconi Test》<ref>{{cite journal |last1=Marozzi |first1=Marco |title=Some Notes on the Location-Scale Cucconi Test |journal=Journal of Nonparametric Statistics |date=2009 |volume=21 |issue=5 |page=629–647 |doi=10.1080/10485250902952435 }}</ref>和刊登在Communications in Statistics – Simulation and Computation2013年刊上同样Marozzi, Marco (2009)的文章《Nonparametric Simultaneous Tests for Location and Scale Testing: a Comparison of Several Methods》<ref>{{cite journal |last1=Marozzi |first1=Marco |title=Nonparametric Simultaneous Tests for Location and Scale Testing: a Comparison of Several Methods |journal=Communications in Statistics – Simulation and Computation |date=2013 |volume=42 |issue=6 |page=1298–1317 |doi=10.1080/03610918.2012.665546 }}</ref>显示了证据，当比较两个分布函数时，最初建议同时比较位置和比例的Cucconi检验比Kolmogorov-Smirnov检验更有效。

== 为分布函数的形状设置置信极限 ==

== 为分布函数的形状设置置信极限 ==

虽然通常使用Kolmogorov–Smirnov检验法来检验给定的''F''(''x'')是否为''F''_''n''(''x'')的潜在概率分布，但可以将过程倒过来给出''F''(''x'')本身的置信极限。如果选择检验统计量''D''_''α''的临界值，使得P(''D''_''n''&nbsp;>&nbsp;''D''_''α'') = ''α''，则在''F''_''n''(''x'') 周围宽度±''D''_''α''内将完全包含概率为1&nbsp;−&nbsp;''α''的''F''(''x'') 。

虽然通常使用Kolmogorov–Smirnov检验法来检验给定的''F''(''x'')是否为''F''_''n''(''x'')的潜在概率分布，但可以将过程倒过来给出''F''(''x'')本身的置信极限。如果选择检验统计量''D''_''α''的临界值，使得P(''D''_''n''&nbsp;>&nbsp;''D''_''α'') = ''α''，则在''F''_''n''(''x'') 周围宽度±''D''_''α''内将完全包含概率为1&nbsp;−&nbsp;''α''的''F''(''x'') 。

== 多个维度的Kolmogorov–Smirnov统计 ==

== 多个维度的Kolmogorov–Smirnov统计 ==

一维的Kolmogorov-Smirnov统计量与所谓的星差D相同，因此，另一个对更高维度的本地KS扩展是将D也用于更高维度。可惜的是，很难从高维度上计算出星差。

一维的Kolmogorov-Smirnov统计量与所谓的星差D相同，因此，另一个对更高维度的本地KS扩展是将D也用于更高维度。可惜的是，很难从高维度上计算出星差。

==软件实现==

==软件实现==

* Corder, G. W.; Foreman, D. I. (2014). 非参数统计：分步法. Wiley. ISBN 978-1118840313.

* Corder, G. W.; Foreman, D. I. (2014). 非参数统计：分步法. Wiley. ISBN 978-1118840313.

* Stephens, M. A. (1979). "基于经验分布函数的逻辑分布拟合检验". Biometrika. 66 (3): 591–595. doi:10.1093/biomet/66.3.591.

* Stephens, M. A. (1979). "基于经验分布函数的逻辑分布拟合检验". Biometrika. 66 (3): 591–595. doi:10.1093/biomet/66.3.591.

== 编者推荐 ==

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