更改

为了解释这两类现象，我们提出了匹配生长的随机几何图模型（Matching Growth Random Geometric Graph Model）<ref>{{cite journal | last = Zhang | first = Jiang | coauthors = Xintong Li, Xinran Wang, Wen-Xu Wang, Lingfei Wu | date = 2015 | title = Scaling behaviors in the growth of networked systems and their geometric origin | url = http://www.nature.com/articles/srep09767| journal = Scientific Reports| volume = 5| pages = 9767}}</ref><ref>{{cite journal | last = Zhang | first = Jiang date = 2012 | title = Growing Random Geometric Graph Models of Super-linear Scaling Laws | url = http://arxiv.org/abs/1212.4914}}</ref>。该模型用简单的假设解释了这两类现象，并且在基础模型基础上，我们可以扩展该模型，于是我们可以模拟城市生长等现象。

为了解释这两类现象，我们提出了匹配生长的随机几何图模型（Matching Growth Random Geometric Graph Model）<ref>{{cite journal | last = Zhang | first = Jiang | coauthors = Xintong Li, Xinran Wang, Wen-Xu Wang, Lingfei Wu | date = 2015 | title = Scaling behaviors in the growth of networked systems and their geometric origin | url = http://www.nature.com/articles/srep09767| journal = Scientific Reports| volume = 5| pages = 9767}}</ref><ref>{{cite journal | last = Zhang | first = Jiang date = 2012 | title = Growing Random Geometric Graph Models of Super-linear Scaling Laws | url = http://arxiv.org/abs/1212.4914}}</ref>。该模型用简单的假设解释了这两类现象，并且在基础模型基础上，我们可以扩展该模型，于是我们可以模拟城市生长等现象。

==基本模型==

==基本模型==

===模型基本假设===

===模型基本假设===

该模型假设网络是单调生长的，也就是说系统中的节点和连边都只能生长，而不能减少；其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标。再次，我们假设节点和节点的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用的新增节点才能存在下去。

该模型假设网络是单调生长的，也就是说系统中的节点和连边都只能生长，而不能减少；其次，我们假设网络中的所有节点都可以被嵌入一个欧氏空间中，并且每一个节点具有一个欧氏空间坐标。再次，我们假设节点和节点的相互作用是局部的；最后，只有能够与现有节点发生相互作用的新增节点才能存在下去。

===模拟结果===

===模拟结果===

按照上述规则，模型可以一直演化下去，下图展示的是在2维空间中，有100个节点加入之后的网络形状：

按照上述规则，模型可以一直演化下去，下图展示的是在2维空间中，有100个节点加入之后的网络形状：

[[File:matchingprocess.png|300px]]

[[File:matchingprocess.png|300px|center]]

下图展示的是网络在不同时间点的形状：

下图展示的是网络在不同时间点的形状：

[[File:multistagespatialnetwork.png|500px]]

[[File:multistagespatialnetwork.png|400px|center]]

我们可以看到，网络在不同的时间步会一直不停地生长下去。

我们可以看到，网络在不同的时间步会一直不停地生长下去。

====加速生长特性====

====加速生长特性====

该模型的生长会体现出明显的加速特性，也就是说，在开始的时候网络生长得很慢；而随着网络长大，网络的生长速度也会越来越快。这是因为，每个周期新节点都是随机地生长出来，然而由于在初始时刻，已存在的节点覆盖面积非常小，所以新生长的节点有较小的概率能够存活下去；反过来，随着网络越长越大，已存活节点所覆盖的面积也会逐渐增大，所以新加入的点就会以较大的概率落入被已存在节点覆盖的范围之内。这样，网络越大就会越快地累积新的节点，一种正反馈机制就会建立起来，从而使得网络能够加速生长下去。

该模型的生长会体现出明显的加速特性，也就是说，在开始的时候网络生长得很慢；而随着网络长大，网络的生长速度也会越来越快。这是因为，每个周期新节点都是随机地生长出来，然而由于在初始时刻，已存在的节点覆盖面积非常小，所以新生长的节点有较小的概率能够存活下去；反过来，随着网络越长越大，已存活节点所覆盖的面积也会逐渐增大，所以新加入的点就会以较大的概率落入被已存在节点覆盖的范围之内。这样，网络越大就会越快地累积新的节点，一种正反馈机制就会建立起来，从而使得网络能够加速生长下去。

====密集化趋势====

====密集化趋势====

在网络长大的过程中，网络会在空间分布上体现出异质性。对于中心的区域来说（种子节点附近），因为每个周期新加入的节点刚好落在这片区域的机会都一样，所以随着时间的推移，这片区域的节点会越积累越多。反过来，对于远离中心的节点来说，由于在开始时刻这个区域附近没有已存活的节点，所以新节点几乎不可能在这里得到生长，只有当网络逐渐扩大以使得该区域附近充满了已存活的节点的时候，新节点进入该区域的概率才不为零。所以远离中心的节点会更加稀疏。因此，最后的网络节点会在中心区域密集化。对于任何一个区域来说，由于节点数只增不减，所以节点密度也是始终增加的。

在网络长大的过程中，网络会在空间分布上体现出异质性。对于中心的区域来说（种子节点附近），因为每个周期新加入的节点刚好落在这片区域的机会都一样，所以随着时间的推移，这片区域的节点会越积累越多。反过来，对于远离中心的节点来说，由于在开始时刻这个区域附近没有已存活的节点，所以新节点几乎不可能在这里得到生长，只有当网络逐渐扩大以使得该区域附近充满了已存活的节点的时候，新节点进入该区域的概率才不为零。所以远离中心的节点会更加稀疏。因此，最后的网络节点会在中心区域密集化。对于任何一个区域来说，由于节点数只增不减，所以节点密度也是始终增加的。

====链接超线性生长====

====链接超线性生长====

下面，我们来考虑平均每增加一个节点所带来的连边数。显然，新加入的节点既可能进入中心区域也可能进入外围区域。但无论新节点落入哪一个区域，它的连边数都取决于周围邻居的数量，而这个数量正如前所述是在不停地增加的，所以每加入一个新节点所带来的连边数就会单调地增加下去。于是，连边数就会比节点数增加的更快。这就是链接的超线性生长现象。

下面，我们来考虑平均每增加一个节点所带来的连边数。显然，新加入的节点既可能进入中心区域也可能进入外围区域。但无论新节点落入哪一个区域，它的连边数都取决于周围邻居的数量，而这个数量正如前所述是在不停地增加的，所以每加入一个新节点所带来的连边数就会单调地增加下去。于是，连边数就会比节点数增加的更快。这就是链接的超线性生长现象。

====多样性亚线性生长====

====多样性亚线性生长====

另一方面，我们不妨用这些已存在节点所覆盖的面积作为整个网络中节点的多样性度量。那么，我们会发现，多样性会比网络节点数更缓慢的增长。我们不妨将已存在节点覆盖的区域分成中心和外围两种区域。每个新加入并存活的节点更可能在中心区域存活，而加入这些区域是不会扩大网络所覆盖的面积的，只有当新加入的节点刚好位于整个覆盖区域的外围的时候，整个覆盖区域的面积才会增长。于是，随着网络增大，覆盖区域也在增大，中心区域也在增大，于是新节点落入外围区域的概率就会减小，从而使得网络的覆盖面积会比节点数长得慢，这就是多样性的亚线性生长现象。

另一方面，我们不妨用这些已存在节点所覆盖的面积作为整个网络中节点的多样性度量。那么，我们会发现，多样性会比网络节点数更缓慢的增长。我们不妨将已存在节点覆盖的区域分成中心和外围两种区域。每个新加入并存活的节点更可能在中心区域存活，而加入这些区域是不会扩大网络所覆盖的面积的，只有当新加入的节点刚好位于整个覆盖区域的外围的时候，整个覆盖区域的面积才会增长。于是，随着网络增大，覆盖区域也在增大，中心区域也在增大，于是新节点落入外围区域的概率就会减小，从而使得网络的覆盖面积会比节点数长得慢，这就是多样性的亚线性生长现象。

====定量模拟结果====

====定量模拟结果====

上述各种现象都可以用定量的模拟结果加以展示，如下图所示：

上述各种现象都可以用定量的模拟结果加以展示，如下图所示：

[[File:simulationmatchingmodelscalinglaws.png|300px]]

[[File:simulationmatchingmodelscalinglaws.png|300px|center]]

在其中，横坐标N表示的是网络中的节点数，纵坐标表示的分别是E：连边数、V：网络覆盖的面积即多样性、t：模型运行的时间。我们看到，E、V、t都随着网络的节点数增长而呈现幂律的增长。但是这三个幂律指数分别为4/3、2/3，和1/3，这说明V和t比N增长的慢，这正是多样性减速生长特性和整个网络加速生长特性的体现（节点数随t越涨越快）。同时，我们能够得到连边数E和节点数N之间的超线性幂律关系，这也是与实证中看到的现象相符合的。

在其中，横坐标N表示的是网络中的节点数，纵坐标表示的分别是E：连边数、V：网络覆盖的面积即多样性、t：模型运行的时间。我们看到，E、V、t都随着网络的节点数增长而呈现幂律的增长。但是这三个幂律指数分别为4/3、2/3，和1/3，这说明V和t比N增长的慢，这正是多样性减速生长特性和整个网络加速生长特性的体现（节点数随t越涨越快）。同时，我们能够得到连边数E和节点数N之间的超线性幂律关系，这也是与实证中看到的现象相符合的。

===解析结果===

===解析结果===

这里，t为模型运转的时间。比较这些结果和上一节的模拟结果不难看出，我们的解析解与模拟解得到了完全相同的幂律指数。

这里，t为模型运转的时间。比较这些结果和上一节的模拟结果不难看出，我们的解析解与模拟解得到了完全相同的幂律指数。

==模型扩展==

==模型扩展==

===拥挤模型===

===拥挤模型===

所以，当d给定的时候，E和N的指数，以及V和N的指数都会随着α而变。

所以，当d给定的时候，E和N的指数，以及V和N的指数都会随着α而变。

===异质化模型===

===异质化模型===

[[File:matchinggrowthheterogenousmodeldegreedistribution.png|600px]]

[[File:matchinggrowthheterogenousmodeldegreedistribution.png|600px]]

===空间吸引模型===

===空间吸引模型===

我们看到，伦敦的β取值为0.3，北京的取值相应为0.1。除此之外，如果加入额外的假设，我们还能够很好地模拟出城市道路和城市中社会经济相互作用密度随空间的分布情况。有关更多的讨论，可以参看[[空间吸引模型]]

我们看到，伦敦的β取值为0.3，北京的取值相应为0.1。除此之外，如果加入额外的假设，我们还能够很好地模拟出城市道路和城市中社会经济相互作用密度随空间的分布情况。有关更多的讨论，可以参看[[空间吸引模型]]

==模型的平均场方法求解==

==模型的平均场方法求解==

这提示我们随着规模的增大，随机模型中的那些局部涨落就会被抹平，所以整个网络趋向于一个普通的欧几里得几何体。于是，我们尝试用平均场方法来对模型进行分析。

这提示我们随着规模的增大，随机模型中的那些局部涨落就会被抹平，所以整个网络趋向于一个普通的欧几里得几何体。于是，我们尝试用平均场方法来对模型进行分析。

 

===高维情况===

===高维情况===

于是，网络的半径与t成正比。

于是，网络的半径与t成正比。

===节点密度===

===节点密度===

t\propto R(t)\propto  N(t)^{\frac{1}{d+1}}

t\propto R(t)\propto  N(t)^{\frac{1}{d+1}}

</math>

</math>

===网络的其它属性===

===网络的其它属性===

E(t)\propto R(t)^{d+\frac{2}{1+\alpha}}

E(t)\propto R(t)^{d+\frac{2}{1+\alpha}}

</math>

</math>

===多种子模型===

===多种子模型===

这个分布P_N虽然无法精确求解，但它的数值近似为一个Zipf定律。于是，我们得到了在稳态情况下，团簇的尺度分布服从Zipf律。

这个分布P_N虽然无法精确求解，但它的数值近似为一个Zipf定律。于是，我们得到了在稳态情况下，团簇的尺度分布服从Zipf律。

==基本模型Python代码==

==基本模型Python代码==

<references/>

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