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这里，λ和β是两个自由参数。最后得到的网络是一个无标度网络，也就是网络的度分布满足幂律分布特征，下图展示了基本模型和这个扩展的异质化模型的度分布情况。我们同时画出了模型在不同规模的情况下的度分布。与此同时，模型还可以保留连接数的超线性生长和多样性的亚线性生长的特性。因此这是一个同时得到超线性增长和无标度网络的网络模型。

这里，λ和β是两个自由参数。最后得到的网络是一个无标度网络，也就是网络的度分布满足幂律分布特征，下图展示了基本模型和这个扩展的异质化模型的度分布情况。我们同时画出了模型在不同规模的情况下的度分布。与此同时，模型还可以保留连接数的超线性生长和多样性的亚线性生长的特性。因此这是一个同时得到超线性增长和无标度网络的网络模型。

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的时候，模型能够产生非常有意思的结果。如果固定d＝2，则该模型可以模拟出真实城市的形态。如下左图展示的就是模型生成的节点情况，右图则绘制了伦敦的人口分布形态，这二者有很高的相似度。

的时候，模型能够产生非常有意思的结果。如果固定d＝2，则该模型可以模拟出真实城市的形态。如下左图展示的就是模型生成的节点情况，右图则绘制了伦敦的人口分布形态，这二者有很高的相似度。

[[File:matchinggrowthspatialattractionmodelnodes.png|350px]][[File:matchinggrowthspatialattractionlondon.png|400px]]

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C是一个模型中的唯一参数，它可以在0到无穷大中间取任意的数值。由于已存在点越多的地方就会有更多的新点产生，从而让新点更好地附着到整个网络上，所以，我们称这个模型为空间吸引模型。我们发现，当C取不同数值的时候，最后形成的已存活点的空间分布满足如下方程：

C是一个模型中的唯一参数，它可以在0到无穷大中间取任意的数值。由于已存在点越多的地方就会有更多的新点产生，从而让新点更好地附着到整个网络上，所以，我们称这个模型为空间吸引模型。我们发现，当C取不同数值的时候，最后形成的已存活点的空间分布满足如下方程：

这是从理论上得到的节点密度分布情况。经过大量的实证研究我们发现，城市中的活跃人口分布也满足完全相同的分布形式。其中，活跃人口与普通的居住人口或工作人口不同，它是一种居住与工作按照人们的工作时长进行混合的人口密度，它表达的是城市中任何一个空间点的平均人流密度。我们发现，至少对于北京和伦敦这两座城市来说，它们的活跃人口分布完全符合这种形式。但是，不同的城市具有完全不同的β数值，具体如图所示：

这是从理论上得到的节点密度分布情况。经过大量的实证研究我们发现，城市中的活跃人口分布也满足完全相同的分布形式。其中，活跃人口与普通的居住人口或工作人口不同，它是一种居住与工作按照人们的工作时长进行混合的人口密度，它表达的是城市中任何一个空间点的平均人流密度。我们发现，至少对于北京和伦敦这两座城市来说，它们的活跃人口分布完全符合这种形式。但是，不同的城市具有完全不同的β数值，具体如图所示：

[[File:matchinggrowthspatialattractionmodellondongbeijing.png|600px]]

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我们看到，伦敦的β取值为0.3，北京的取值相应为0.1。除此之外，如果加入额外的假设，我们还能够很好地模拟出城市道路和城市中社会经济相互作用密度随空间的分布情况。有关更多的讨论，可以参看[[空间吸引模型]]

我们看到，伦敦的β取值为0.3，北京的取值相应为0.1。除此之外，如果加入额外的假设，我们还能够很好地模拟出城市道路和城市中社会经济相互作用密度随空间的分布情况。有关更多的讨论，可以参看[[空间吸引模型]]

当模型运行足够长时间，网络生长到足够大的时候，整个网络会逐渐趋向于一个对称的球形形状。如下图：

当模型运行足够长时间，网络生长到足够大的时候，整个网络会逐渐趋向于一个对称的球形形状。如下图：

[[File:shape1.png|300px]][[File:shape2.png|300px]]

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这提示我们随着规模的增大，随机模型中的那些局部涨落就会被抹平，所以整个网络趋向于一个普通的欧几里得几何体。于是，我们尝试用平均场方法来对模型进行分析。

这提示我们随着规模的增大，随机模型中的那些局部涨落就会被抹平，所以整个网络趋向于一个普通的欧几里得几何体。于是，我们尝试用平均场方法来对模型进行分析。

如图：

如图：

[[File:ddimension.png|400px]]

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在一般的维度d>1的情况下，我们将R(t)定义为t时刻离种子最远的一个存活点到种子的距离。让我们考虑它的生长ΔR。由于在平均场情况下（模型足够大，运行时间足够长），模型网络是一个各向同性的几何图形，因此在每一个单独方向上，模型都相似于一个一维的模型。这样，我们只需要分析任意一个方向即可。如果要想让ΔR>0，那么新的点必然会在最外围点的r半径的d维球内（如上图的阴影区域）。因为每一次新产生的随机点都会均匀地在整个L^d超立方体内分布。所以，这个新的点落入到这个阴影区域内的概率就会正比于这片区域的面积。当R(t)非常大的时候，这块区域的体积近似于一个半径为r的d维球的一半。因此，ΔR的平均值就是：

在一般的维度d>1的情况下，我们将R(t)定义为t时刻离种子最远的一个存活点到种子的距离。让我们考虑它的生长ΔR。由于在平均场情况下（模型足够大，运行时间足够长），模型网络是一个各向同性的几何图形，因此在每一个单独方向上，模型都相似于一个一维的模型。这样，我们只需要分析任意一个方向即可。如果要想让ΔR>0，那么新的点必然会在最外围点的r半径的d维球内（如上图的阴影区域）。因为每一次新产生的随机点都会均匀地在整个L^d超立方体内分布。所以，这个新的点落入到这个阴影区域内的概率就会正比于这片区域的面积。当R(t)非常大的时候，这块区域的体积近似于一个半径为r的d维球的一半。因此，ΔR的平均值就是：