更改

熵有两种等价定义：热力学定义和统计力学定义。历史上，[[经典热力学]]定义先被提出。此观点认为，不考虑系统的微观细节，而是用经验上定义的热力学变量，如温度、气压、熵和热容来描述。经典热力学假设存在平衡态，但是更多的是尝试定义非平衡系统的熵。<ref>{{cite book|title=The scientific papers of J. Willard Gibbs in Two Volumes|url=https://archive.org/stream/scientificpapers01gibbuoft#page/11/mode/1up|accessdate=2011-02-26|volume=1|year=1906|publisher=Longmans, Green, and Co.|page=11}}</ref>

熵有两种等价定义：热力学定义和统计力学定义。历史上，[[经典热力学]]定义先被提出。此观点认为，不考虑系统的微观细节，而是用经验上定义的热力学变量，如温度、气压、熵和热容来描述。经典热力学假设存在平衡态，但是更多的是尝试定义非平衡系统的熵。<ref>{{cite book|title=The scientific papers of J. Willard Gibbs in Two Volumes|url=https://archive.org/stream/scientificpapers01gibbuoft#page/11/mode/1up|accessdate=2011-02-26|volume=1|year=1906|publisher=Longmans, Green, and Co.|page=11}}</ref>

统计物理学对熵以及其他热力学性质的定义发展于经典定义之后。此观点认为，热力学性质是被系统的微观构成的运动的统计定义的。这个定义先是模拟在由牛顿粒子组成的气体中提出，随后发现在量子粒子中也成立（光子、声子、自旋等）

统计物理学对熵以及其他热力学性质的定义发展于经典定义之后。此观点认为，热力学性质是被系统的微观构成的运动的统计定义的。这个定义先是模拟在由牛顿粒子组成的气体中提出，随后发现在量子粒子中也成立（光子、声子、自旋等）

===状态函数===

===状态函数===

许多热力学量都是[[状态函数]]，意味着特定的热力学状态（不同于系统的微观状态）有特定的值。通常情况下，如果已知系统的两个热力学性质，那么可以确定此系统的状态，系统的另外一个热力学性质也可以被确定。比如，一定温度和压力下的一些气体的状态被这些量所确定，所以其体积也是确定的。再比如，一定温度和气压下的只存在单[https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_(matter) 相]的系统，不仅可以确定其体积，还可以确定它的熵。<ref>J. A. McGovern,{{cite web|url=http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node29.html |title=2.5 Entropy |accessdate=2013-02-05 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120923080936/http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node29.html |archivedate=2012-09-23 }}</ref> 熵是状态函数因为它有用。在[https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot_cycle 卡诺循环]中，工作流体回到初始工作时的状态，所以状态函数（如： 熵 Entropy）在一个可逆循环中的线积分是零。

许多热力学量都是[[状态函数]]，意味着特定的热力学状态（不同于系统的微观状态）有特定的值。通常情况下，如果已知系统的两个热力学性质，那么可以确定此系统的状态，系统的另外一个热力学性质也可以被确定。比如，一定温度和压力下的一些气体的状态被这些量所确定，所以其体积也是确定的。再比如，一定温度和气压下的只存在单[https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_(matter) 相]的系统，不仅可以确定其体积，还可以确定它的熵。<ref>J. A. McGovern,{{cite web|url=http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node29.html |title=2.5 Entropy |accessdate=2013-02-05 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120923080936/http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node29.html |archivedate=2012-09-23 }}</ref> 熵是状态函数因为它有用。在[https://en.wikipedia.org/wiki/Carnot_cycle 卡诺循环]中，工作流体回到初始工作时的状态，所以状态函数（如： 熵 Entropy）在一个可逆循环中的线积分是零。

===可逆过程===

===可逆过程===

可逆过程中的熵不变。可逆过程是指能做最大功的同时保持热动平衡态。任何快速偏离热动平衡的过程都不可逆。在这些过程中，能量损失变为热量，总熵增加，最大输出功也不能达到。更具体的，可逆过程中熵守恒，而不可逆过程熵不守恒。<ref>{{cite web|title=6.5 Irreversibility, Entropy Changes, and ''Lost Work''|url=http://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node48.html|website=web.mit.edu|accessdate=21 May 2016}}</ref>比如卡诺循环，热量从热库经过冷库代表着熵增，输出功代表着可以被用于让热机回到上一个状态的熵减。因此如果过程是可逆的，系统的总熵为零。不可逆过程熵增加。<ref>{{cite web|last1=Lower|first1=Stephen|title=What is entropy?|url=http://www.chem1.com/acad/webtext/thermeq/TE2.html|website=www.chem1.com|accessdate=21 May 2016}}</ref>

可逆过程中的熵不变。可逆过程是指能做最大功的同时保持热动平衡态。任何快速偏离热动平衡的过程都不可逆。在这些过程中，能量损失变为热量，总熵增加，最大输出功也不能达到。更具体的，可逆过程中熵守恒，而不可逆过程熵不守恒。<ref>{{cite web|title=6.5 Irreversibility, Entropy Changes, and ''Lost Work''|url=http://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/node48.html|website=web.mit.edu|accessdate=21 May 2016}}</ref>比如卡诺循环，热量从热库经过冷库代表着熵增，输出功代表着可以被用于让热机回到上一个状态的熵减。因此如果过程是可逆的，系统的总熵为零。不可逆过程熵增加。<ref>{{cite web|last1=Lower|first1=Stephen|title=What is entropy?|url=http://www.chem1.com/acad/webtext/thermeq/TE2.html|website=www.chem1.com|accessdate=21 May 2016}}</ref>

===卡诺循环===

===卡诺循环===

::<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}-\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}=0 </math>，或者，<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}=\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}} </math>。

::<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}-\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}}=0 </math>，或者，<math> \frac{Q_\text{H}}{T_\text{H}}=\frac{Q_\text{C}}{T_\text{C}} </math>。

这意味着在卡诺循环的整个循环中都有一个守恒的状态函数。 克劳修斯称这种状态函数为熵。 可以看到，熵是通过数学而不是通过实验室结果发现的。 它是一种数学构造，没有简单的物理类比。 这使该概念有些模糊或抽象，类似于能量的概念如何产生。

这意味着在卡诺循环的整个循环中都有一个守恒的状态函数。 克劳修斯称这种状态函数为熵。 可以看到，熵是通过数学而不是通过实验室结果发现的。 它是一种数学构造，没有简单的物理类比。 这使该概念有些模糊或抽象，类似于能量的概念如何产生。

然后，Clausius提出，如果系统产生的功少于卡诺原理预测的功，会发生什么情况。 第一个方程的右侧将是系统输出的功的上限，现在将其转换为不等式

然后，Clausius提出，如果系统产生的功少于卡诺原理预测的功，会发生什么情况。 第一个方程的右侧将是系统输出的功的上限，现在将其转换为不等式

::<math> W<\left(1-\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}\right)Q_\text{H}</math>

::<math> W<\left(1-\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}\right)Q_\text{H}</math>

当使用第二个方程将功表示为热量差时，我们得到：

当使用第二个方程将功表示为热量差时，我们得到：

::<math> Q_\text{H}-Q_\text{C}<\left(1-\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}\right)Q_\text{H}</math>，或者，<math> Q_\text{C}>\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}Q_\text{H}</math>

::<math> Q_\text{H}-Q_\text{C}<\left(1-\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}\right)Q_\text{H}</math>，或者，<math> Q_\text{C}>\frac{T_\text{C}}{T_\text{H}}Q_\text{H}</math>

因此，比卡诺循环中更多的热量提供给冷库。 如果我们用两种状态的Si = Qi / Ti表示熵，则上述不等式可以写成熵减小的形式：

因此，比卡诺循环中更多的热量提供给冷库。 如果我们用两种状态的Si = Qi / Ti表示熵，则上述不等式可以写成熵减小的形式：

::<math>S_\text{H}-S_\text{C}<0</math>，或者，<math>S_\text{H}<S_\text{C}</math>

::<math>S_\text{H}-S_\text{C}<0</math>，或者，<math>S_\text{H}<S_\text{C}</math>

离开系统的熵大于进入系统的熵，这意味着某些不可逆的过程会阻止循环产生卡诺方程所预测的最大功。

离开系统的熵大于进入系统的熵，这意味着某些不可逆的过程会阻止循环产生卡诺方程所预测的最大功。

卡诺循环和效率之所以有用，是因为它们定义了可能的功输出的上限以及任何经典热力学系统的效率。 可以从卡诺循环的角度分析其他循环，例如[https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_cycle 奥托循环 Otto Cycle]， [https://en.wikipedia.org/wiki/Diesel_cycle 迪塞尔循环 Diesel Cycle ]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Brayton_cycle 布雷顿循环 Brayton Cycle]。 任何将热量转换为功并且声称产生的效率高于卡诺效率的机器或过程都是不可发生的，因为它违反了热力学第二定律。 对于系统中极少数的粒子，必须使用统计热力学。 诸如光伏电池之类的设备的效率需要从量子力学的角度进行分析。

卡诺循环和效率之所以有用，是因为它们定义了可能的功输出的上限以及任何经典热力学系统的效率。 可以从卡诺循环的角度分析其他循环，例如[https://en.wikipedia.org/wiki/Otto_cycle 奥托循环 Otto Cycle]， [https://en.wikipedia.org/wiki/Diesel_cycle 迪塞尔循环 Diesel Cycle ]和[https://en.wikipedia.org/wiki/Brayton_cycle 布雷顿循环 Brayton Cycle]。 任何将热量转换为功并且声称产生的效率高于卡诺效率的机器或过程都是不可发生的，因为它违反了热力学第二定律。 对于系统中极少数的粒子，必须使用统计热力学。 诸如光伏电池之类的设备的效率需要从量子力学的角度进行分析。

===经典热力学===

===经典热力学===

熵的热力学定义是Clausius在1850年代初期提出的，它本质上描述了如何在[[孤立系统]]的热力学平衡及其部分中测量熵。 Clausius创造了“熵”一词，将其作为一个广延的热力学变量，证明其对卡诺循环很有用。卡诺循环中等温过程的热传递与系统温度（称为系统绝对温度）成正比。这种关系用熵的增量表示，该熵的增量等于传热增量除以温度，这在热力学循环中会发生变化，但最终在每个循环结束时相同。 因此熵被发现是状态函数，特别是系统的热力学状态。

熵的热力学定义是Clausius在1850年代初期提出的，它本质上描述了如何在[[孤立系统]]的热力学平衡及其部分中测量熵。 Clausius创造了“熵”一词，将其作为一个广延的热力学变量，证明其对卡诺循环很有用。卡诺循环中等温过程的热传递与系统温度（称为系统绝对温度）成正比。这种关系用熵的增量表示，该熵的增量等于传热增量除以温度，这在热力学循环中会发生变化，但最终在每个循环结束时相同。 因此熵被发现是状态函数，特别是系统的热力学状态。

Clausius的定义基于可逆过程，但也有不可逆过程改变熵。 根据热力学第二定律，对于不可逆过程，孤立系统的熵总是增加。 孤立系统和封闭系统之间的区别在于，热量可能不会流入孤立系统或从孤立系统中流出，但是热量可能会流入封闭系统或从封闭系统中流出。然而，对于封闭系统和隔离系统，甚至在开放系统中，都可能发生不可逆的热力学过程。

Clausius的定义基于可逆过程，但也有不可逆过程改变熵。 根据热力学第二定律，对于不可逆过程，孤立系统的熵总是增加。 孤立系统和封闭系统之间的区别在于，热量可能不会流入孤立系统或从孤立系统中流出，但是热量可能会流入封闭系统或从封闭系统中流出。然而，对于封闭系统和隔离系统，甚至在开放系统中，都可能发生不可逆的热力学过程。

根据[https://en.wikipedia.org/wiki/Clausius_theorem 克劳修斯不等式 Clausius theorem]，对于一个可逆过程<math>\oint \frac{\delta Q_\text{rev}}{T} = 0</math>。这意味着线积分<math>\int_\text{L} \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>与路径无关。所以我们可以定义一个叫熵的状态函数S，满足<math>d S = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>。

根据[https://en.wikipedia.org/wiki/Clausius_theorem 克劳修斯不等式 Clausius theorem]，对于一个可逆过程<math>\oint \frac{\delta Q_\text{rev}}{T} = 0</math>。这意味着线积分<math>\int_\text{L} \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>与路径无关。所以我们可以定义一个叫熵的状态函数S，满足<math>d S = \frac{\delta Q_\text{rev}}{T}</math>。

为了找到系统中任何两个状态之间的熵差，必须通过对初始状态和最终状态之间的某些可逆路径进行积分。<ref>{{Cite book|last=Atkins|first=Peter|author2=Julio De Paula|title=Physical Chemistry, 8th ed.|publisher=Oxford University Press|year=2006|page=79|isbn=978-0-19-870072-2}}</ref>由于熵是状态函数，因此对于不可逆路径，系统的熵变化与在相同两个状态之间的可逆路径的熵变化相同。<ref>{{Cite book|last=Engel|first=Thomas|author2=Philip Reid|title=Physical Chemistry|publisher=Pearson Benjamin Cummings|year=2006|page=86|isbn=978-0-8053-3842-3}}</ref>但是，周围环境的熵变化是不同的。

为了找到系统中任何两个状态之间的熵差，必须通过对初始状态和最终状态之间的某些可逆路径进行积分。<ref>{{Cite book|last=Atkins|first=Peter|author2=Julio De Paula|title=Physical Chemistry, 8th ed.|publisher=Oxford University Press|year=2006|page=79|isbn=978-0-19-870072-2}}</ref>由于熵是状态函数，因此对于不可逆路径，系统的熵变化与在相同两个状态之间的可逆路径的熵变化相同。<ref>{{Cite book|last=Engel|first=Thomas|author2=Philip Reid|title=Physical Chemistry|publisher=Pearson Benjamin Cummings|year=2006|page=86|isbn=978-0-8053-3842-3}}</ref>但是，周围环境的熵变化是不同的。

我们只能通过整合以上公式来获得熵的变化。为了获得熵的绝对值，我们需要[[热力学第三定律]]，该定律规定对于完美的晶体，S = 0（绝对零度）。

我们只能通过整合以上公式来获得熵的变化。为了获得熵的绝对值，我们需要[[热力学第三定律]]，该定律规定对于完美的晶体，S = 0（绝对零度）。

从宏观的角度来看，在经典热力学中，熵被解释为热力学系统的状态函数：即，仅取决于系统当前状态的属性，而与该状态如何实现无关。 在任何系统释放能量ΔE且其熵下降ΔS的过程中，必须以不可用的热量将至少至少该能量的<math>T_\text{R}</math>ΔS释放给系统周围环境（<math>T_\text{R}</math>是系统外部环境的温度）。 否则，该过程将无法进行。 在经典热力学中，仅当系统处于热力学平衡状态时才定义其熵。

从宏观的角度来看，在经典热力学中，熵被解释为热力学系统的状态函数：即，仅取决于系统当前状态的属性，而与该状态如何实现无关。 在任何系统释放能量ΔE且其熵下降ΔS的过程中，必须以不可用的热量将至少至少该能量的<math>T_\text{R}</math>ΔS释放给系统周围环境（<math>T_\text{R}</math>是系统外部环境的温度）。 否则，该过程将无法进行。 在经典热力学中，仅当系统处于热力学平衡状态时才定义其熵。

===统计物理===

===统计物理===

统计定义是[[https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann 路德维希·玻耳兹曼 Ludwig Boltzmann]]在1870年代通过分析系统微观组分的统计行为得出的。Boltzmann证明，这种熵的定义等价于热力学熵，比例常数被称为[[玻耳兹曼常数]]。 总而言之，熵的热力学定义提供了熵的实验定义，而熵的统计定义扩展了该概念，提供了对其性质的解释和更深刻的理解。

统计定义是[[https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann 路德维希·玻耳兹曼 Ludwig Boltzmann]]在1870年代通过分析系统微观组分的统计行为得出的。Boltzmann证明，这种熵的定义等价于热力学熵，比例常数被称为[[玻耳兹曼常数]]。 总而言之，熵的热力学定义提供了熵的实验定义，而熵的统计定义扩展了该概念，提供了对其性质的解释和更深刻的理解。

用[https://en.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs 吉布斯 Gibbs]的语言，统计力学中对熵的解释是用来衡量不确定性或混合状态，在考虑了系统的可观察到的宏观特性（例如温度，压力和体积）后，该信息仍然存在。对于给定的一组宏观变量，熵衡量了系统在不同可能的微状态上概率分布的程度。与表征可观察到的平均量的宏观状态相反，微观状态指定了有关系统的所有分子细节，包括每个分子的位置和速度。系统以可观的概率获得的此类状态越多，熵越大。在统计力学中，熵是对系统排列方式数量的一种度量，通常被视为“无序”的度量（熵越高，无序性越高）。<ref name=McH>{{cite book|last1=Licker|first1=Mark D.|title=McGraw-Hill concise encyclopedia of chemistry.|date=2004|publisher=McGraw-Hill Professional|location=New York|isbn=978-0-07-143953-4}}</ref><ref name="Sethna78" /><ref>{{cite book|last1=Clark|first1=John O.E.|title=The essential dictionary of science|date=2004|publisher=Barnes & Noble|location=New York|isbn=978-0-7607-4616-5}}</ref> 该定义将熵描述为与可能导致系统观察到的宏观状态的单个原子                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      和系统分子（微观状态）的可能微观构型数目的自然对数成比例。比例常数是[https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant 玻耳兹曼常数]。

用[https://en.wikipedia.org/wiki/Josiah_Willard_Gibbs 吉布斯 Gibbs]的语言，统计力学中对熵的解释是用来衡量不确定性或混合状态，在考虑了系统的可观察到的宏观特性（例如温度，压力和体积）后，该信息仍然存在。对于给定的一组宏观变量，熵衡量了系统在不同可能的微状态上概率分布的程度。与表征可观察到的平均量的宏观状态相反，微观状态指定了有关系统的所有分子细节，包括每个分子的位置和速度。系统以可观的概率获得的此类状态越多，熵越大。在统计力学中，熵是对系统排列方式数量的一种度量，通常被视为“无序”的度量（熵越高，无序性越高）。<ref name=McH>{{cite book|last1=Licker|first1=Mark D.|title=McGraw-Hill concise encyclopedia of chemistry.|date=2004|publisher=McGraw-Hill Professional|location=New York|isbn=978-0-07-143953-4}}</ref><ref name="Sethna78" /><ref>{{cite book|last1=Clark|first1=John O.E.|title=The essential dictionary of science|date=2004|publisher=Barnes & Noble|location=New York|isbn=978-0-7607-4616-5}}</ref> 该定义将熵描述为与可能导致系统观察到的宏观状态的单个原子                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      和系统分子（微观状态）的可能微观构型数目的自然对数成比例。比例常数是[https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant 玻耳兹曼常数]。

玻耳兹曼常数和熵的维度是能量除以温度，在国际单位制中，单位为焦耳每开尔文焦耳（J⋅K-1）（或kg·m2⋅s−2⋅K−1 基本单位）。 物质的熵通常以强度形式给出-单位质量的熵（SI单位：J⋅K-1⋅kg-1）或单位物质的量的熵（SI单位：J⋅K-1⋅mol -1）。

玻耳兹曼常数和熵的维度是能量除以温度，在国际单位制中，单位为焦耳每开尔文焦耳（J⋅K-1）（或kg·m2⋅s−2⋅K−1 基本单位）。 物质的熵通常以强度形式给出-单位质量的熵（SI单位：J⋅K-1⋅kg-1）或单位物质的量的熵（SI单位：J⋅K-1⋅mol -1）。

具体来说，熵是对被占用概率很高的状态数的[https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_scale 对数度量]：<math>S = -k_{\text{B}}\sum_i p_i \log p_i</math>，

具体来说，熵是对被占用概率很高的状态数的[https://en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_scale 对数度量]：<math>S = -k_{\text{B}}\sum_i p_i \log p_i</math>，

或者等价来说，微观态被占据的几率的自然对数的期望值：<math>S = -k_{\text{B}} E_{\text{i}}(\log p_i)</math>，

或者等价来说，微观态被占据的几率的自然对数的期望值：<math>S = -k_{\text{B}} E_{\text{i}}(\log p_i)</math>，

其中<math>k_\text{B}</math>是[https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant 玻尔兹曼常数]，等于1.38065*10-23J/K。

其中<math>k_\text{B}</math>是[https://en.wikipedia.org/wiki/Boltzmann_constant 玻尔兹曼常数]，等于1.38065*10-23J/K。

求和是指对系统所有可能的微观态求和，pi是系统在第i个微观态的可能性<ref name="Perplexed">[http://charlottewerndl.net/Entropy_Guide.pdf Frigg, R. and Werndl, C. "Entropy – A Guide for the Perplexed"]. In Probabilities in Physics; Beisbart C. and Hartmann, S.

求和是指对系统所有可能的微观态求和，pi是系统在第i个微观态的可能性<ref name="Perplexed">[http://charlottewerndl.net/Entropy_Guide.pdf Frigg, R. and Werndl, C. "Entropy – A Guide for the Perplexed"]. In Probabilities in Physics; Beisbart C. and Hartmann, S.

其中，<math> \widehat{\rho}</math>是[https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix 密度矩阵]，Tr是迹，log是矩阵对数。这种密度矩阵公式不需要在热平衡的情况下才成立，只要选择基态为能量本征态即可。 对于大多数实际目的，这可以作为熵的基本定义，因为S的所有其他公式都可以从中数学推导出，反之则不能。

其中，<math> \widehat{\rho}</math>是[https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix 密度矩阵]，Tr是迹，log是矩阵对数。这种密度矩阵公式不需要在热平衡的情况下才成立，只要选择基态为能量本征态即可。 对于大多数实际目的，这可以作为熵的基本定义，因为S的所有其他公式都可以从中数学推导出，反之则不能。

在所谓的统计热力学的基本假设或统计力学的基本假设中，假定任何微状态的占据都是等可能的（即pi = 1 /Ω，其中Ω是微状态数）; 这个假设通常对于平衡的孤立系统是合理的。<ref>{{cite book|last1=Schroeder|first1=Daniel V.|title=An introduction to thermal physics|date=2000|publisher=Addison Wesley|location=San Francisco, CA |isbn=978-0-201-38027-9|page=57|edition=}}</ref>

在所谓的统计热力学的基本假设或统计力学的基本假设中，假定任何微状态的占据都是等可能的（即pi = 1 /Ω，其中Ω是微状态数）; 这个假设通常对于平衡的孤立系统是合理的。<ref>{{cite book|last1=Schroeder|first1=Daniel V.|title=An introduction to thermal physics|date=2000|publisher=Addison Wesley|location=San Francisco, CA |isbn=978-0-201-38027-9|page=57|edition=}}</ref>

所以，上一个公式简化为：<math>S = k_{B} \log \Omega.</math>

所以，上一个公式简化为：<math>S = k_{B} \log \Omega.</math>

在热力学中，这种系统是体积固定，分子数和内部能量守恒的系统（[https://en.wikipedia.org/wiki/Microcanonical_ensemble 微正则系统]）。

在热力学中，这种系统是体积固定，分子数和内部能量守恒的系统（[https://en.wikipedia.org/wiki/Microcanonical_ensemble 微正则系统]）。

熵的最一般的解释是度量我们对系统的不确定性。 系统的平衡状态使熵最大化，因为除了守恒变量之外，我们已经失去了所有有关初始条件的信息。 最大化熵会使我们对系统细节的无知最大化。<ref>{{cite web|url=http://www.physics.cornell.edu/sethna/StatMech/EntropyOrderParametersComplexity.pdf |title=EntropyOrderParametersComplexity.pdf www.physics.cornell.edu |accessdate=2012-08-17}}</ref> 这种不确定性不是日常主观的，而是实验方法和解释模型固有的不确定性。

熵的最一般的解释是度量我们对系统的不确定性。 系统的平衡状态使熵最大化，因为除了守恒变量之外，我们已经失去了所有有关初始条件的信息。 最大化熵会使我们对系统细节的无知最大化。<ref>{{cite web|url=http://www.physics.cornell.edu/sethna/StatMech/EntropyOrderParametersComplexity.pdf |title=EntropyOrderParametersComplexity.pdf www.physics.cornell.edu |accessdate=2012-08-17}}</ref> 这种不确定性不是日常主观的，而是实验方法和解释模型固有的不确定性。

解释模型在确定熵方面具有核心作用。 上面的“对于给定的一组宏观变量”的限定词具有深远的含义：如果两个观察者使用不同的宏观变量，他们将看到不同的熵。 例如，如果观察者A使用变量U，V和W，观察者B使用U，V，W，X，B通过更改X，可能会导致观察者A看到像违反热力学第二定律的现象。 换句话说，观察者所选择的一组宏观变量必须包括实验中可能变化的所有事物，否则，熵可能会降低！<ref>{{cite web|url=http://www.mdpi.org/lin/entropy/cgibbs.pdf |title=Jaynes, E. T., "The Gibbs Paradox," In Maximum Entropy and Bayesian Methods; Smith, C. R; Erickson, G. J; Neudorfer, P. O., Eds; Kluwer Academic: Dordrecht, 1992, pp. 1–22 |accessdate=2012-08-17}}</ref>

解释模型在确定熵方面具有核心作用。 上面的“对于给定的一组宏观变量”的限定词具有深远的含义：如果两个观察者使用不同的宏观变量，他们将看到不同的熵。 例如，如果观察者A使用变量U，V和W，观察者B使用U，V，W，X，B通过更改X，可能会导致观察者A看到像违反热力学第二定律的现象。 换句话说，观察者所选择的一组宏观变量必须包括实验中可能变化的所有事物，否则，熵可能会降低！<ref>{{cite web|url=http://www.mdpi.org/lin/entropy/cgibbs.pdf |title=Jaynes, E. T., "The Gibbs Paradox," In Maximum Entropy and Bayesian Methods; Smith, C. R; Erickson, G. J; Neudorfer, P. O., Eds; Kluwer Academic: Dordrecht, 1992, pp. 1–22 |accessdate=2012-08-17}}</ref>

可以为任何具有可逆动力学和满足[https://en.wikipedia.org/wiki/Detailed_balance 细致平衡条件]的[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_process 马尔可夫过程]定义熵。

可以为任何具有可逆动力学和满足[https://en.wikipedia.org/wiki/Detailed_balance 细致平衡条件]的[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_process 马尔可夫过程]定义熵。

Boltzmann的1896年“Lectures on Gas Theory”讲座中，他证明了该表达式给出了气相中原子和分子系统的熵的量度，从而为经典热力学的熵提供了量度。

Boltzmann的1896年“Lectures on Gas Theory”讲座中，他证明了该表达式给出了气相中原子和分子系统的熵的量度，从而为经典热力学的熵提供了量度。

===系统熵===

===系统熵===

[[File:System_boundary.png |200px|thumb|[https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamic_system 热力学系统]]]

[[File:System_boundary.png |200px|thumb|[https://en.wikipedia.org/wiki/Thermodynamic_system 热力学系统]]]

[[File:Temperature-entropy_chart_for_steam.png|200px|thumb|蒸汽温度-熵图。纵轴表示温度均匀，横轴表示比熵。图中的每个黑线代表恒定的压力，它们形成具有恒定体积的浅灰色线的网格。（深蓝色是液态水，浅蓝色是液态蒸汽混合物，淡蓝色是蒸汽。灰色蓝色表示超临界液态水。）]]

[[File:Temperature-entropy_chart_for_steam.png|200px|thumb|蒸汽温度-熵图。纵轴表示温度均匀，横轴表示比熵。图中的每个黑线代表恒定的压力，它们形成具有恒定体积的浅灰色线的网格。（深蓝色是液态水，浅蓝色是液态蒸汽混合物，淡蓝色是蒸汽。灰色蓝色表示超临界液态水。）]]

熵直接来自卡诺循环。也可以描述为可逆热量除以温度。熵是基本的状态函数。在热力学系统中，压力，密度和温度会随时间趋于常数，因为平衡状态比其他任何状态都具有更高的概率（更多的可能的微观状态组合）。

熵直接来自卡诺循环。也可以描述为可逆热量除以温度。熵是基本的状态函数。在热力学系统中，压力，密度和温度会随时间趋于常数，因为平衡状态比其他任何状态都具有更高的概率（更多的可能的微观状态组合）。

例如，室温空气中的一杯冰水，温暖的房间（环境）与冷的冰和水杯子（系统而非房间的一部分）之间的温度差开始趋于零，因为温暖环境的部分热能散布到冰和水的较冷系统中。 随着时间的流逝，玻璃及其内容物的温度与房间的温度将相等。 换句话说，随着部分能量分散到冰和水上，房间的熵降低了。

例如，室温空气中的一杯冰水，温暖的房间（环境）与冷的冰和水杯子（系统而非房间的一部分）之间的温度差开始趋于零，因为温暖环境的部分热能散布到冰和水的较冷系统中。 随着时间的流逝，玻璃及其内容物的温度与房间的温度将相等。 换句话说，随着部分能量分散到冰和水上，房间的熵降低了。

但是，如示例中所计算的，冰和水系统的熵增加的幅度大于周围房间的熵减小的幅度。 在一个孤立系统中，例如将房间和冰水合在一起，能量从较热的位置散布到较冷的位置总是导致熵的净增加。 因此，当房间和冰水系统的“宇宙”达到温度平衡时，熵相对于初始状态变化最大。热力学系统的熵是衡量反应平衡程度的一种量度。

但是，如示例中所计算的，冰和水系统的熵增加的幅度大于周围房间的熵减小的幅度。 在一个孤立系统中，例如将房间和冰水合在一起，能量从较热的位置散布到较冷的位置总是导致熵的净增加。 因此，当房间和冰水系统的“宇宙”达到温度平衡时，熵相对于初始状态变化最大。热力学系统的熵是衡量反应平衡程度的一种量度。

热力学熵是一种非保守状态函数，在物理学和化学科学中具有重要意义。<ref name="McH" /><ref name="Wiley91">{{cite book|last1=Sandler|first1=Stanley I.|title=Chemical, biochemical, and engineering thermodynamics|date=2006|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|isbn=978-0-471-66174-0|page=91|edition=4th}}</ref>历史上，熵的概念演变为解释为什么某些过程（受守恒定律限制）自发发生而不能发生时间逆转（也受守恒定律限制）的原因。 系统倾向于朝着熵增加的方向演化。<ref name="McQuarrie817">{{cite book|last1=Simon|first1=Donald A. McQuarrie; John D.|title=Physical chemistry : a molecular approach|date=1997|publisher=Univ. Science Books|location=Sausalito, Calif.|isbn=978-0-935702-99-6|page=817|edition=Rev.}}</ref><ref>{{Cite book|last=Haynie|first=Donald, T.|title=Biological Thermodynamics|publisher=Cambridge University Press|year=2001|isbn=978-0-521-79165-6}}</ref>对于孤立的系统，熵永远不会降低。<ref name="Wiley91" />这一事实在科学中产生了几个重要的后果：首先，它限制“永动机”。 其次，它意味着熵的箭头与[https://en.wikipedia.org/wiki/Arrow_of_time 时间之箭]指向相同的方向。 熵的增加对应于系统中不可逆的变化，因为一些能量被消耗为废热，从而限制了系统可以完成的工作量。<ref name="McH" /><ref name="Sethna78">{{cite book|last1=Sethna|first1=James P.|title=Statistical mechanics : entropy, order parameters, and complexity.|date=2006|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-856677-9|page=78|edition=[Online-Ausg.].}}</ref><ref name="OxSci">{{cite book|last1=Daintith|first1=John|title=A dictionary of science|date=2005|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-280641-3|edition=5th}}</ref><ref>{{Cite book|last=de Rosnay|first=Joel|title=The Macroscope&nbsp;– a New World View (written by an M.I.T.-trained biochemist)|publisher=Harper & Row, Publishers|year=1979|isbn=978-0-06-011029-1|title-link=M.I.T.}}</ref>

热力学熵是一种非保守状态函数，在物理学和化学科学中具有重要意义。<ref name="McH" /><ref name="Wiley91">{{cite book|last1=Sandler|first1=Stanley I.|title=Chemical, biochemical, and engineering thermodynamics|date=2006|publisher=John Wiley & Sons|location=New York|isbn=978-0-471-66174-0|page=91|edition=4th}}</ref>历史上，熵的概念演变为解释为什么某些过程（受守恒定律限制）自发发生而不能发生时间逆转（也受守恒定律限制）的原因。 系统倾向于朝着熵增加的方向演化。<ref name="McQuarrie817">{{cite book|last1=Simon|first1=Donald A. McQuarrie; John D.|title=Physical chemistry : a molecular approach|date=1997|publisher=Univ. Science Books|location=Sausalito, Calif.|isbn=978-0-935702-99-6|page=817|edition=Rev.}}</ref><ref>{{Cite book|last=Haynie|first=Donald, T.|title=Biological Thermodynamics|publisher=Cambridge University Press|year=2001|isbn=978-0-521-79165-6}}</ref>对于孤立的系统，熵永远不会降低。<ref name="Wiley91" />这一事实在科学中产生了几个重要的后果：首先，它限制“永动机”。 其次，它意味着熵的箭头与[https://en.wikipedia.org/wiki/Arrow_of_time 时间之箭]指向相同的方向。 熵的增加对应于系统中不可逆的变化，因为一些能量被消耗为废热，从而限制了系统可以完成的工作量。<ref name="McH" /><ref name="Sethna78">{{cite book|last1=Sethna|first1=James P.|title=Statistical mechanics : entropy, order parameters, and complexity.|date=2006|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-856677-9|page=78|edition=[Online-Ausg.].}}</ref><ref name="OxSci">{{cite book|last1=Daintith|first1=John|title=A dictionary of science|date=2005|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0-19-280641-3|edition=5th}}</ref><ref>{{Cite book|last=de Rosnay|first=Joel|title=The Macroscope&nbsp;– a New World View (written by an M.I.T.-trained biochemist)|publisher=Harper & Row, Publishers|year=1979|isbn=978-0-06-011029-1|title-link=M.I.T.}}</ref>

与许多其他状态函数不同，熵不能直接观察到，而必须进行计算。物质的熵可以用绝对零度下的标准摩尔熵（也称为绝对熵）计算，也可以与定义为零熵的其他参考状态的熵差计算。熵的大小是能量除以温度，在国际单位制中，熵的单位是焦耳每开尔文（J / K）。尽管这些单位与热容量相同，但两个概念却截然不同。<ref>{{cite web|last=McGovern |first=J. A.  |url=http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node50.html |title=Heat Capacities |accessdate=2013-01-27 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120819175243/http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node50.html |archivedate=2012-08-19 }}</ref>熵不是守恒的量：例如，在温度不均匀的孤立系统中，热量可能会不可逆地流动，并且温度会变得更加均匀，从而使熵增加。[[热力学第二定律]]指出，封闭系统的熵可能会增加或保持恒定。化学反应会引起熵的变化，并且熵在确定化学反应自发向哪个方向发挥着重要作用。

与许多其他状态函数不同，熵不能直接观察到，而必须进行计算。物质的熵可以用绝对零度下的标准摩尔熵（也称为绝对熵）计算，也可以与定义为零熵的其他参考状态的熵差计算。熵的大小是能量除以温度，在国际单位制中，熵的单位是焦耳每开尔文（J / K）。尽管这些单位与热容量相同，但两个概念却截然不同。<ref>{{cite web|last=McGovern |first=J. A.  |url=http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node50.html |title=Heat Capacities |accessdate=2013-01-27 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120819175243/http://theory.phy.umist.ac.uk/~judith/stat_therm/node50.html |archivedate=2012-08-19 }}</ref>熵不是守恒的量：例如，在温度不均匀的孤立系统中，热量可能会不可逆地流动，并且温度会变得更加均匀，从而使熵增加。[[热力学第二定律]]指出，封闭系统的熵可能会增加或保持恒定。化学反应会引起熵的变化，并且熵在确定化学反应自发向哪个方向发挥着重要作用。

熵的一种字典定义是，它是“无法用于有用功的单位温度热能的量度”。 例如，处于均匀温度下的物质处于最大熵并且不能驱动热机。 温度不均匀的物质具有较低的熵（与允许均匀分布的热量相比），并且一些热能可以驱动热机。

熵的一种字典定义是，它是“无法用于有用功的单位温度热能的量度”。 例如，处于均匀温度下的物质处于最大熵并且不能驱动热机。 温度不均匀的物质具有较低的熵（与允许均匀分布的热量相比），并且一些热能可以驱动热机。

当两种或多种不同的物质混合时，会出现熵增加的一种特殊情况，即混合熵。 如果物质处于相同的温度和压力下，则没有热交换或功的净交换–熵的变化完全是由于不同物质的混合。 在统计力学的水平上，这是由于混合时每个粒子的可用体积发生了变化。<ref>{{cite journal|last1=Ben-Naim|first1=Arieh|title=On the So-Called Gibbs Paradox, and on the Real Paradox|journal=Entropy|date=21 September 2007|volume=9|issue=3|pages=132–136|doi=10.3390/e9030133|url=http://www.mdpi.org/entropy/papers/e9030132.pdf|bibcode=2007Entrp...9..132B}}</ref>

当两种或多种不同的物质混合时，会出现熵增加的一种特殊情况，即混合熵。 如果物质处于相同的温度和压力下，则没有热交换或功的净交换–熵的变化完全是由于不同物质的混合。 在统计力学的水平上，这是由于混合时每个粒子的可用体积发生了变化。<ref>{{cite journal|last1=Ben-Naim|first1=Arieh|title=On the So-Called Gibbs Paradox, and on the Real Paradox|journal=Entropy|date=21 September 2007|volume=9|issue=3|pages=132–136|doi=10.3390/e9030133|url=http://www.mdpi.org/entropy/papers/e9030132.pdf|bibcode=2007Entrp...9..132B}}</ref>