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--[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]： The cover featured an image located at -0.909 + -0.275 and was created by Peitgen, et al.没有翻译，可以考虑译为：该封面展示了一幅以(-0.909,-0.275)为坐标的曼德布洛特集图形，该图形由Peitgen创作。
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The work of Douady and Hubbard coincided with a huge increase in interest in complex dynamics and abstract mathematics, and the study of the Mandelbrot set has been a centerpiece of this field ever since. An exhaustive list of all who have contributed to the understanding of this set since then is long but would include Mikhail Lyubich,<ref>{{cite journal
The work of Douady and Hubbard coincided with a huge increase in interest in complex dynamics and abstract mathematics, and the study of the Mandelbrot set has been a centerpiece of this field ever since. An exhaustive list of all who have contributed to the understanding of this set since then is long but would include Mikhail Lyubich, [[Curtis T. McMullen|Curt McMullen]], [[John Milnor]], [[Mitsuhiro Shishikura]] and [[Jean-Christophe Yoccoz]]. Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura and Jean-Christophe Yoccoz.
Adrien Douady和 John H. Hubbard 的研究工作不断取得新的成果，感兴趣于复动力学和'''抽象数学 Abstract Mathematics'''领域的队伍快速壮大，自此，深入了解曼德布洛特集一直是这些领域的核心研究。包括'''米哈伊尔 · 柳比奇 Mikhail Lyubich''',<ref>{{cite journal
| author = Lyubich, Mikhail
| author = Lyubich, Mikhail
| title = Six Lectures on Real and Complex Dynamics
| title = Six Lectures on Real and Complex Dynamics
| pmid = 9826646
| pmid = 9826646
| pmc = 24319 | bibcode =1998PNAS...9514025L
| pmc = 24319 | bibcode =1998PNAS...9514025L
}}</ref> [[Curtis T. McMullen|Curt McMullen]], [[John Milnor]], [[Mitsuhiro Shishikura]] and [[Jean-Christophe Yoccoz]]. Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura and Jean-Christophe Yoccoz.
}}</ref>''' 科特 · 麦克马伦 Curt McMullen''', '''约翰 · 米尔诺 John Milnor''', '''石仓光博 Mitsuhiro Shishikura''' and '''让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz'''在内的许多人在曼德布洛特集的研究工作中，都作出了大大小小的贡献。
--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） 2020年4月6日 (一) 04:12 (UTC)第一句中的coincided weith 相吻合 换了并列句进行叙述
--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） 2020年4月6日 (一) 04:12 (UTC)第一句中的coincided weith 相吻合 换了并列句进行叙述
The Mandelbrot set is the set of values of c in the complex plane for which the orbit of 0 under iteration of the quadratic map{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}remains bounded.[13]
The Mandelbrot set is the set of values of c in the complex plane for which the orbit of 0 under iteration of the quadratic map{\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}remains bounded.[13]
曼德布洛特集是令复二次多项式 z_{n+1}=z_{n}^{2}+c中的Zn=0，将方程进行无限迭代，使其函数值构成的数列不发散的复数 c 的集合。[13]
曼德布洛特集是令复二次多项式 z_{n+1}=z_{n}^{2}+c中的Zn=0，将方程进行无限迭代，使其函数值构成的数列不发散的复数 c 的集合。<ref>{{cite web|url=http://math.bu.edu/DYSYS/explorer/def.html|title=Mandelbrot Set Explorer: Mathematical Glossary|accessdate=2007-10-07}}</ref>
--[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]：曼德布洛特集是满足使得复二次多项式 z_{n+1}=z_{n}^{2}+c 自0开始进行迭代【从下句翻译得到的启发】并保持在有界范围内的复平面上的 c 的集合。
--[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]]：曼德布洛特集是满足使得复二次多项式 z_{n+1}=z_{n}^{2}+c 自0开始进行迭代【从下句翻译得到的启发】并保持在有界范围内的复平面上的 c 的集合。
Adrien Douady和 John H. Hubbard在曼德布洛特集的补集与闭合单位圆盘（以原点为中心，以1为半径做圆）的补集之间构造了一个显式的'''共形同构 Conformal Isomorphism '''，由此证明了曼德布洛特集是连通的。
Adrien Douady和 John H. Hubbard在曼德布洛特集的补集与闭合单位圆盘（以原点为中心，以1为半径做圆）的补集之间构造了一个显式的'''共形同构 Conformal Isomorphism '''，由此证明了曼德布洛特集是连通的。
而由于当时计算机程序的局限性，导致程序无法检测到所生成的曼德布洛特集图形中连接不同细部的微小连线。Benoît B. Mandelbrot 最初猜测曼德布洛特集是不连通的。通过进一步的实验后，Benoît B. Mandelbrot 纠正了之前的看法，认为曼德布洛特集是连通的。
而由于当时计算机程序的局限性，导致程序无法检测到所生成的曼德布洛特集图形中连接不同细部的微小连线。Benoît B. Mandelbrot 最初猜测曼德布洛特集是不连通的。通过进一步的实验后，Benoît B. Mandelbrot 纠正了之前的看法，认为曼德布洛特集是连通的。
此外，'''杰里米 · 卡恩 Jeremy Kahn'''在2001年利用严格的拓扑证明，论证了曼德布洛特集的连通性。[14]
此外，'''杰里米 · 卡恩 Jeremy Kahn'''在2001年利用严格的拓扑证明，论证了曼德布洛特集的连通性。<ref>{{Cite web|url=http://www.math.brown.edu/~kahn/mconn.pdf|title=The Mandelbrot Set is Connected: a Topological Proof|last=Kahn|first=Jeremy|date=8 August 2001}}</ref>
--[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]] 上面第二句的语序建议不要调整，因为在第一句叙述了“曼集是连通的。而由于当时计算机程序的局限性...”，这里的“当时”容易引起误解，以为是上句人物所处的时代，特别是该句最后还用了句号（如果用逗号可能会减少这种误解）。建议直译出来，也符合原文叙述的时间顺序：Benoît B. Mandelbrot 最初猜测曼德布洛特集是不连通的。这是由于当时计算机程序的局限性，导致程序无法检测到所生成的曼德布洛特集图形中连接不同细部的微小连线。
--[[用户:木子二月鸟|木子二月鸟]] 上面第二句的语序建议不要调整，因为在第一句叙述了“曼集是连通的。而由于当时计算机程序的局限性...”，这里的“当时”容易引起误解，以为是上句人物所处的时代，特别是该句最后还用了句号（如果用逗号可能会减少这种误解）。建议直译出来，也符合原文叙述的时间顺序：Benoît B. Mandelbrot 最初猜测曼德布洛特集是不连通的。这是由于当时计算机程序的局限性，导致程序无法检测到所生成的曼德布洛特集图形中连接不同细部的微小连线。
The dynamical formula for the uniformisation of the complement of the Mandelbrot set, arising from Douady and Hubbard's proof of the connectedness of {\displaystyle M}，gives rise to external rays of the Mandelbrot set. These rays can be used to study the Mandelbrot set in combinatorial terms and form the backbone of the Yoccoz parapuzzle.[15]
The dynamical formula for the uniformisation of the complement of the Mandelbrot set, arising from Douady and Hubbard's proof of the connectedness of {\displaystyle M}，gives rise to external rays of the Mandelbrot set. These rays can be used to study the Mandelbrot set in combinatorial terms and form the backbone of the Yoccoz parapuzzle.[15]
由Adrien Douady和 John H. Hubbard证明曼德布洛特集连通时，所用到的曼德布洛特集的补集均匀化的动力学公式，引出了曼德布洛特集的外部尾迹射线。可将这些射线进行组合来研究曼德布洛特集，形成 Yoccoz parapuzzle 的骨架。 [15]
由Adrien Douady和 John H. Hubbard证明曼德布洛特集连通时，所用到的曼德布洛特集的补集均匀化的动力学公式，引出了曼德布洛特集的外部尾迹射线。可将这些射线进行组合来研究曼德布洛特集，形成 Yoccoz parapuzzle 的骨架。<ref>''The Mandelbrot set, theme and variations''. Tan, Lei. Cambridge University Press, 2000. {{isbn|978-0-521-77476-5}}. Section 2.1, "Yoccoz para-puzzles", [https://books.google.com/books?id=-a_DsYXquVkC&pg=PA121 p. 121]</ref>
--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） form the backbone of the Yoccoz parapuzzle.[15]中的Yoccoz parapuzzle 暂不知道怎么翻译；点进链接为上文提出让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz的页面 倾向于译为 形成了Jean-Christophe Yoccoz的对于该问题研究的理论框架
--[[用户:趣木木|趣木木]]（[[用户讨论:趣木木|讨论]]） form the backbone of the Yoccoz parapuzzle.[15]中的Yoccoz parapuzzle 暂不知道怎么翻译；点进链接为上文提出让-克里斯托夫·约科兹Jean-Christophe Yoccoz的页面 倾向于译为 形成了Jean-Christophe Yoccoz的对于该问题研究的理论框架
推测这些双曲分量是否仅存在于曼德布洛特集内部区域，称为双曲密度问题。这或许也是复动力学领域中最值得关注的公开问题。曼德布洛特集中假设的非双曲分量通被称为“怪胎”或幽灵分量。[16]
推测这些双曲分量是否仅存在于曼德布洛特集内部区域，称为双曲密度问题。这或许也是复动力学领域中最值得关注的公开问题。曼德布洛特集中假设的非双曲分量通被称为“怪胎”或幽灵分量。<ref>''Exploring the Mandelbrot set. The Orsay Notes'' by Adrien Douady and John H. Hubbard. page 12</ref><ref>Wolf Jung, March 2002, [http://www.mndynamics.com/papers/thesis.pdf Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set by Wolf Jung]</ref>对于实二次多项式，在1990年，双曲密度问题得到解决。'''柳比奇 Lyubich''' 、'''格拉奇克 Graczyk'''、'''斯维亚特克 Świątek'''分别独立证明了双曲分量仅存在于曼德布洛特集的内部区域。
'''让-克里斯托夫·约科兹 Jean-Christophe Yoccoz'''证明了在所有有限可重整化参数下的曼德布洛特集的局部连通性; 也就是说，该种局部连通性只体现在有限多个小曼德布洛特集副本中。 [18]从那时起，在曼德布洛特集的其他参数点也体现了局部连通性。
'''让-克里斯托夫·约科兹 Jean-Christophe Yoccoz'''证明了在所有有限可重整化参数下的曼德布洛特集的局部连通性; 也就是说，该种局部连通性只体现在有限多个小曼德布洛特集副本中。 <ref name="yoccoz">{{citation
| last = Hubbard | first = J. H.
| contribution = Local connectivity of Julia sets and bifurcation loci: three theorems of J.-C. Yoccoz
| contribution-url = http://www.math.cornell.edu/~hubbard/hubbard.pdf
| location = Houston, TX
| mr = 1215974
| pages = 467–511
| publisher = Publish or Perish
| title = Topological methods in modern mathematics (Stony Brook, NY, 1991)
| year = 1993}}从那时起，在曼德布洛特集的其他参数点也体现了局部连通性。
===自相似 Self-similarity===
===自相似 Self-similarity===
[[File:P20_Mandelzoom1.jpg|300px|thumb|right|在Misiurewicz点−0.1011 + 0.9563i附近的自相似性]]
[[File:P20_Mandelzoom1.jpg|300px|thumb|right|在Misiurewicz点−0.1011 + 0.9563i附近的自相似性]]
在 Misiurewicz 点附近，对曼德布洛特集进行放大，能够观察到自相似性。将其收敛于一个极限集后，我们还推测在广义 Feigenbaum 点(例如-1.401155或-0.1528 + 1.0397 i)周围能够观察到自相似的特征。 [19][20]
在 Misiurewicz 点附近，对曼德布洛特集进行放大，能够观察到自相似性。将其收敛于一个极限集后，我们还推测在广义 Feigenbaum 点(例如-1.401155或-0.1528 + 1.0397 i)周围能够观察到自相似的特征。<ref>{{cite journal | last1 = Lei | year = 1990 | title = Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets | url = http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104201823| journal = Communications in Mathematical Physics | volume = 134 | issue = 3| pages = 587–617 | doi=10.1007/bf02098448| bibcode = 1990CMaPh.134..587L}}</ref><ref>{{cite book |author=J. Milnor |chapter=Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set |editor=M. C. Tangora |location=New York |pages=211–257 |title=Computers in Geometry and Topology |url=https://books.google.com/books?id=wuVJAQAAIAAJ |year=1989|publisher=Taylor & Francis}})</ref>
总的来说，曼德布洛特集合并不是严格意义上的具有自相似特征的集合，但它具有准自相似性，因为在任意小的空间尺度上，都可以找到与自身略有不同的小副本。小副本之间的细微差别体现在它们与整体集合之间的连接细线上。
总的来说，曼德布洛特集合并不是严格意义上的具有自相似特征的集合，但它具有准自相似性，因为在任意小的空间尺度上，都可以找到与自身略有不同的小副本。小副本之间的细微差别体现在它们与整体集合之间的连接细线上。
==进一步的计算结果 Further results==
==进一步的计算结果==
Mitsuhiro Shishikura计算出曼德布洛特集分界线的'''豪斯多夫维数 Hausdorff dimension '''为2。 现在还不知道曼德布洛特集分界线是否具有正平面上的'''勒贝格测度 Lebesgue Measure'''。
Mitsuhiro Shishikura计算出曼德布洛特集分界线的'''豪斯多夫维数 Hausdorff dimension '''为2。<ref name="shishikura"/> 现在还不知道曼德布洛特集分界线是否具有正平面上的'''勒贝格测度 Lebesgue Measure'''。
事实上，该原理被运用到曼德布洛特集的所有深层结果中。 例如，Shishikura 证明了对于在曼德布洛特集分界线上的一组稠密的参数，相对应的'''朱利亚集 Julia set'''的豪斯多夫维数为2，然后将这些信息传递到参数平面上。 [21]同样，Yoccoz 首先证明了朱利亚集的局部连通性，然后在相应的参数点处进一步证明曼德布洛特集的局部连通性。 [18]Adrien Douady将这一原则表述为:在动力平面上耕耘，在参数空间中收获。
事实上，该原理被运用到曼德布洛特集的所有深层结果中。 例如，Shishikura 证明了对于在曼德布洛特集分界线上的一组稠密的参数，相对应的'''朱利亚集 Julia set'''的豪斯多夫维数为2，然后将这些信息传递到参数平面上。 <ref name="shishikura">{{citation
| last = Shishikura | first = Mitsuhiro
| arxiv = math.DS/9201282
| doi = 10.2307/121009
| issue = 2
| journal = Annals of Mathematics
| mr = 1626737
| pages = 225–267
| series = Second Series
| title = The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets
| volume = 147
| year = 1998| jstor = 121009
}}.</ref> 同样，Yoccoz 首先证明了朱利亚集的局部连通性，然后在相应的参数点处进一步证明曼德布洛特集的局部连通性。<ref name="yoccoz"/>Adrien Douady将这一原则表述为:在动力平面上耕耘，在参数空间中收获。
== 几何结构 ==
== 几何结构 ==
=== 曼德布洛特集中的π ===
=== 曼德布洛特集中的π ===
为了证明 p / q-limb 的厚度为零，'''大卫·鲍尔 David Boll''' 在1991年利用计算机计算了使得 <math>z =-\tfrac{3}{4} + i\epsilon</math> (<math>-\tfrac{3}{4}</math>的级数发散所需的迭代次数。（<math>-\tfrac{3}{4}</math>是所处的位置）。由于z = <math>-\tfrac{3}{4}</math>为确切值，并不发散。则需要进一步缩小 ε、增加迭代次数，更加接近目标值。譬如：当ε = 0.0000001时，需迭代31415928次，此时输出值的π值为3.1415928。[22]
为了证明 p / q-limb 的厚度为零，'''大卫·鲍尔 David Boll''' 在1991年利用计算机计算了使得 <math>z =-\tfrac{3}{4} + i\epsilon</math> (<math>-\tfrac{3}{4}</math>的级数发散所需的迭代次数。（<math>-\tfrac{3}{4}</math>是所处的位置）。由于z = <math>-\tfrac{3}{4}</math>为确切值，并不发散。则需要进一步缩小 ε、增加迭代次数，更加接近目标值。譬如：当ε = 0.0000001时，需迭代31415928次，此时输出值的π值为3.1415928。<ref>Gary William Flake, ''The Computational Beauty of Nature'', 1998. p. 125. {{isbn|978-0-262-56127-3}}.</ref>
File:P30-Mandel_zoom_06_double_hook.jpg|卫星集。这两个“海马尾”是一系列同心冠的源头，冠的中心是卫星集。 在交互式查看器中打开此位置。
File:P30-Mandel_zoom_06_double_hook.jpg|卫星集。这两个“海马尾”是一系列同心冠的源头，冠的中心是卫星集。 点击[https://mandelbrot-svelte.netlify.com/#{%22pos%22:{%22x%22:-0.743904874255535,%22y%22:-0.1317119067802009},%22zoom%22:7502494.442311305} 此处]可看。
File:P40 Mandel_zoom_16_spiral_island.jpg|其中一个螺旋的细节部分，利用交互式查看器中打开
File:P40 Mandel_zoom_16_spiral_island.jpg|其中一个螺旋的细节部分。点击[https://guciek.github.io/web_mandelbrot.html#-0.7436439049875745;0.13182591455433018;2.2351741790771485e-13;7000 此处]可看。
</gallery>
</gallery>
另一种方法是使用每个点的距离估计[24](DE)数据来计算高度值。利用指数函数对距离估计值进行非线性映射，可以得到感观较好的图像。使用 DE 数据绘制的图像往往在视觉上更引人关注。更重要的是，三维图像使得连接图像中各点的细“卷须”更易于观察。 在“分形图像的科学”第121页的图29、30显示了使用外部距离估计绘制的二维和三维图像。
另一种方法是使用每个点的距离估计<ref>{{cite book |title=The Science of Fractal Images |last=Peitgen |first=Heinz-Otto |author2=Saupe Dietmar |year=1988 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=0-387-96608-0 |pages=121, 196–197 |title-link=The Beauty of Fractals }}</ref> (DE)数据来计算高度值。利用指数函数对距离估计值进行非线性映射，可以得到感观较好的图像。使用 DE 数据绘制的图像往往在视觉上更引人关注。更重要的是，三维图像使得连接图像中各点的细“卷须”更易于观察。 在“分形图像的科学”第121页的图29、30显示了使用外部距离估计绘制的二维和三维图像。
[[File:P43Mandelbrot_set_3D_Distance_Estimates.jpg|300px|thumb|right|利用距离估计渲染曼德布洛特集的三维图像。]]
[[File:P43Mandelbrot_set_3D_Distance_Estimates.jpg|300px|thumb|right|利用距离估计渲染曼德布洛特集的三维图像。]]
</center>
</center>
下图类似于上图中的“zoom 05”，它来自于《分形之美》这本书的第85页图44的3D图像版本。
下图类似于上图中的“zoom 05”，它来自于《分形之美》这本书的第85页图44的3D图像版本。<ref>{{cite book |title=The Beauty of Fractals |last=Peitgen |first=Heinz-Otto |author2=Richter Peter |year=1986 |publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg |isbn=0-387-15851-0 |pages=[https://archive.org/details/beautyoffractals0000peit/page/85 85] |title-link=The Beauty of Fractals }}</ref>
[[File:P61A_3D_version_of_the_Mandelbrot_set_plot__Map_44__from_the_book__The_Beauty_of_Fractals_.jpg|300px|thumb|center|《分形之美》这本书的第85页图44的曼德布洛特集的3D图像版本]]
[[File:P61A_3D_version_of_the_Mandelbrot_set_plot__Map_44__from_the_book__The_Beauty_of_Fractals_.jpg|300px|thumb|center|《分形之美》这本书的第85页图44的曼德布洛特集的3D图像版本]]
The Multibrot set is obtained by varying the value of the exponent d. The article has a video that shows the development from d = 0 to 7, at which point there are 6 i.e. (d − 1) lobes around the perimeter. A similar development with negative exponents results in (1 − d) clefts on the inside of a ring.
The Multibrot set is obtained by varying the value of the exponent d. The article has a video that shows the development from d = 0 to 7, at which point there are 6 i.e. (d − 1) lobes around the perimeter. A similar development with negative exponents results in (1 − d) clefts on the inside of a ring.
[[File:Multibrot.ogv.jpg|400px|thumb|Click to play video of multibrot set with d changing from 0 to 8 [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/3/3f/Multibrot.ogv/Multibrot.ogv.480p.vp9.webm 点击观看d从0到8的多重曼德布洛特集视频 ]|right]]
[[File:Multibrot.ogv.jpg|400px|thumb|Click to play video of multibrot set with d changing from 0 to 8 [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/transcoded/3/3f/Multibrot.ogv/Multibrot.ogv.480p.vp9.webm 点击观看d从0到8的多重曼德布洛特集视频 ]|right]]
对于整数<math>d</math>，这些集合是由同一公式构造的朱利亚的连通轨迹。 对全三次连通轨迹进行研究，这里考虑双参数递归 <math> z \mapsto z^3 + 3kz + c </math>，两个临界点是参数k的复数平方根。若两个临界点都固定，则说明参数在三次连通轨迹中。 [26]对于一般的全纯函数族，将曼德布洛特集的分界线推广到分支轨迹，即使在连通轨迹不存在的情况下，分支轨迹也是一个自然的研究对象。
对于整数<math>d</math>，这些集合是由同一公式构造的朱利亚的连通轨迹。 对全三次连通轨迹进行研究，这里考虑双参数递归 <math> z \mapsto z^3 + 3kz + c </math>，两个临界点是参数k的复数平方根。若两个临界点都固定，则说明参数在三次连通轨迹中。 <ref>[[Rudy Rucker]]'s discussion of the CCM: [http://www.cs.sjsu.edu/faculty/rucker/cubic_mandel.htm CS.sjsu.edu]</ref> 对于一般的全纯函数族，将曼德布洛特集的分界线推广到分支轨迹，即使在连通轨迹不存在的情况下，分支轨迹也是一个自然的研究对象。
多重曼德布洛特集是通过改变指数<math>d</math> 的值得到的。其中<math>d≥2</math>。指数<math>d</math>可以进一步推广到负数和小数。 右侧有一视频，其显示了从 d=0到8的发展过程，在这个过程中，周边有6个(即 d-1)凸起部分。类似的负指数发展也会导致(1-d)条裂缝出现在环的内侧。
多重曼德布洛特集是通过改变指数<math>d</math> 的值得到的。其中<math>d≥2</math>。指数<math>d</math>可以进一步推广到负数和小数。 右侧有一视频，其显示了从 d=0到8的发展过程，在这个过程中，周边有6个(即 d-1)凸起部分。类似的负指数发展也会导致(1-d)条裂缝出现在环的内侧。
== 更高维下的曼德布洛特集 ==
== 更高维下的曼德布洛特集 ==
由于曼德布洛特集无法将复数扩展到三维来进行迭代，故曼德布洛特集不能完美的扩展到三维图形。但'''四元数 Quaternions'''的方法可将复数扩展到四维。其能够将曼德布洛特集和朱利亚集成功扩展到四维，再利用投影或横切成三维。
由于曼德布洛特集无法将复数扩展到三维来进行迭代，故曼德布洛特集不能完美的扩展到三维图形。但'''四元数 Quaternions'''的方法可将复数扩展到四维。<ref>http://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf retrieved 19 August 2018</ref> 其能够将曼德布洛特集和朱利亚集成功扩展到四维，再利用投影或横切成三维。
=== 其他非解析性质的映射 ===
=== 其他非解析性质的映射 ===
==大众文化中的引用==
==大众文化中的引用==
曼德布洛特集合被许多人认为是最流行的分形[28][29] ，并在流行文化中被多次提及。
曼德布洛特集合被许多人认为是最流行的分形<ref>Mandelbaum, Ryan F. (2018). [https://gizmodo.com/this-trippy-music-video-is-made-of-3d-fractals-1822168809 "This Trippy Music Video Is Made of 3D Fractals."] Retrieved 17 January 2019</ref><ref>Moeller, Olga de. (2018).[https://thewest.com.au/lifestyle/kids/what-are-fractals-ng-b88838072z "what are Fratals?"] Retrieved 17 January 2019.</ref>，并在流行文化中被多次提及。
'''乔纳森·库尔顿 Jonathan Coulton'''的歌曲《曼德尔布洛特集》既是对分形本身的赞颂，也是对它的发现者 Benoît B. Mandelbrot的赞颂。[30]
'''乔纳森·库尔顿 Jonathan Coulton'''的歌曲《曼德尔布洛特集》既是对分形本身的赞颂，也是对它的发现者 Benoît B. Mandelbrot的赞颂。<ref name="JoCopedia">{{cite web|title=Mandelbrot Set|url=http://www.jonathancoulton.com/wiki/Mandelbrot_Set|website=JoCopeda|accessdate=15 January 2015}}</ref>
'''皮尔斯·安东尼 Piers Anthony'''的《时尚》系列的第二本书《分形模式》描述了一个完美的三维模型世界。 [31]
'''皮尔斯·安东尼 Piers Anthony'''的《时尚》系列的第二本书《分形模式》描述了一个完美的三维模型世界。<ref name="Anthony1992">{{cite book|author=Piers Anthony|title=Fractal Mode|url=https://books.google.com/books?id=XdUyAAAACAAJ|year=1992|publisher=HarperCollins|isbn=978-0-246-13902-3}}</ref>
'''亚瑟·查理斯·克拉克 Piers Anthony'''的小说《来自大浅滩的幽灵》描绘了一个曼德布洛特集图形复刻版的人工湖。 [32]
'''亚瑟·查理斯·克拉克 Piers Anthony'''的小说《来自大浅滩的幽灵》描绘了一个曼德布洛特集图形复刻版的人工湖。<ref name="Clarke2011">{{cite book|author=Arthur C. Clarke|title=The Ghost From The Grand Banks|url=https://books.google.com/books?id=6ELsYigmXNoC|date=29 September 2011|publisher=Orion|isbn=978-0-575-12179-9}}</ref>
==参阅==
==参阅==