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'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

'''动力学平均场理论(DMFT)'''是一种确定强关联材料电子结构的方法。在这种材料中，用于密度泛函理论和通常的能带结构计算的独立电子近似失效了。动力学平均场理论是对电子之间局部相互作用的非微扰处理，它在近自由电子气极限和凝聚态物理学的原子极限之间架起了桥梁。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定晶格自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 是将一个多体晶格问题映射到一个多体局部问题，即杂质模型。杂质模型通常可以通过各种方案求解，而晶格问题通常是难以解决的。映射本身并不构成近似值。普通DMFT方案中唯一的近似是假定电子自能是一个与动量无关的（局部）量。这种近似在具有无限协调性晶格的极限中变得精确。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

DMFT 的主要成果之一是描述了当电子关联强度增加时金属和莫特绝缘体之间的相变。它与密度泛函理论的局域密度近似相结合，已成功地应用于实际材料。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

同样，DMFT将一个晶格问题（如Hubbard模型）映射到一个单点问题。在DMFT中，局部观测指标是局部格林函数。因此，DMFT的自洽条件是杂质格林函数通过有效的平均场重现晶格局部格林函数，在DMFT中，平均场是杂质模型的杂化函数 <math>\Delta(\tau)</math> 。DMFT的名称归功于这样一个事实：平均场 <math>\Delta(\tau)</math> 是随时间变化的，或者说是动态的。这也指出了Ising MFT和DMFT之间的主要区别：Ising MFT将N个自旋问题映射为一个单点、单自旋问题。DMFT将晶格问题映射到单点问题上，但后者从根本上说仍然是一个N体问题，它捕捉到了由于电子-电子相关的时间波动。

=='''哈伯德'''模型的 DMFT 描述==

=='''哈伯德(Hubbard)'''模型的 DMFT 描述==

= DMFT 映射 =

= DMFT 映射 =

'''单轨道哈伯德模型'''

'''单轨道哈伯德模型'''

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子之间的现场相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：

哈伯德模型通过一个参数 <math>U</math> 来描述自旋相反的电子场之间的相互作用。哈伯德哈密尔顿可以采取以下形式：

:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma}  c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>

:<math> H_{\text{Hubbard}}=t \sum_{\langle ij \rangle \sigma}  c_{i\sigma}^{\dagger}c_{j\sigma} + U\sum_{i}n_{i \uparrow} n_{i\downarrow}</math>

其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

其中，在抑制自旋1/2处 <math>\sigma</math>, <math>c_i^{\dagger},c_i</math> 表示电子在点<math>i</math>, 和 <math>n_i=c_i^{\dagger}c_i</math> 的局部轨道上的创建和湮灭算子.

自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:

自洽性条件要求杂质格林函数 <math>G_\mathrm{imp}(\tau)</math> 与局域格林函数 <math>G_{ii}(\tau) = -\langle T c_i(\tau)c_i^{\dagger}(0)\rangle </math>符合:

:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>

:<math> G_\mathrm{imp}(i\omega_n) = G_{ii}(i\omega_n) = \sum_k \frac {1}{i\omega_n +\mu - \epsilon(k) - \Sigma(k,i\omega_n)}</math>

其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示晶格自能。

其中 <math>\Sigma(k,i\omega_n)</math> 表示电子自能。

===DMFT近似：晶格自能的局域性===

===DMFT近似：电子自能的局域性===

唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略晶格自能的空间波动，将其等同于杂质自能:

唯一的DMFT近似（除了可以用来解决 Anderson 模型的近似之外）在于忽略电子自能的空间波动，将其等同于杂质自能:

:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

:<math> \Sigma(k,i\omega_n) \approx \Sigma_{imp}(i\omega_n) </math>

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。  

因此，正如经典的平均场理论一样，DMFT应该随着维度（也就是邻居的数量）的增加而变得更加精确。换句话说，对于低维度，空间波动将使DMFT近似不那么可靠。  

* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

* [http://www.cond-mat.de/events/correl14/manuscripts/ Lecture notes DMFT at 25: Infinite Dimensions] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

* [http://www.cond-mat.de/events/correl18/manuscripts/ Lecture notes DMFT – From Infinite Dimensions to Real Materials] Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.)

[[Category:Correlated electrons]]

[[Category:Correlated electrons]]