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双曲空间漫游指南 (查看源代码)

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→‎共形模型

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最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。

共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。

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[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]]

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[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]]

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~~图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）~~

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共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。

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~~共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。~~<gallery widths="500" heights="300">

文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)

文件:图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)2.jpg|图13：以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)

第109行：第103行：

</gallery>两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。

[[文件:图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)2.png|居中|缩略图|1080x1080像素|图16：莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)]]

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~~图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)~~

圆盘模型和半平面模型是使用最多的共形模型，但实际上共形模型还有很多种。黎曼映射原理指出，任何单连通（没有洞）的图形都能共形地映射到单位圆内，反之亦然。也就是说共形模型之间都可以互相变换。

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例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。 <gallery widths="800" heights="400">

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例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。

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文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）

文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)

第127行：第120行：

文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）4.gif|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）

</gallery>

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~~图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）~~

===射影模型===

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