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在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化。然而，这一理论面临两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。为了解决该问题，我们需要引入一个精确的理论框架，用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。在此基础上，我们推导了一般动力学中有效信息的解析表达式，并确定了最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。
在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化。然而，这一理论面临两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。为了解决该问题，我们需要引入一个精确的理论框架，用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。在此基础上，我们推导了一般动力学中有效信息的解析表达式，并确定了最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。
Erik Hoel提出了因果出现的最初定量理论，该理论建立在有效信息（<math>EI\equiv I(Y;X|do(X\sim U))</math>）的基础上，原始框架仅限于量化时域和状态空间中的离散马尔可夫链。为了在连续空间中扩展因果涌现理论，Hoel又提出了因果几何理论，其中他们设计了一种计算连续状态空间上函数映射中有效信息的方法。尽管如此，该理论只探索了一般的函数映射，而忽略了多步动力学演化，使其不适用于连续状态空间中的动力学系统。