786
个编辑
更改
→EI与动力学可逆性
==EI与动力学可逆性==
==EI与动力学可逆性==
正如示例{{EquationNote|example}}中的马尔科夫链所示，当概率转移矩阵呈现为一种[[排列置换矩阵]]（Permutation matrix）的时候，EI会更大。
可以证明，[[排列置换矩阵]]是唯一一种能同时满足如下两个条件的矩阵：
1、矩阵是可逆的；
2、矩阵满足马尔科夫链的归一化条件，也就是对于任意的[math]i\in[1,N][/math]来说，[math]|P_i|_1=1[/math]
我们将这一性质称为[[动力学可逆性]]。因此，从某种程度上说，EI衡量的是马尔科夫链的一种[[动力学可逆性]]。
需要注意的是，这里所说的马尔科夫链的[[动力学可逆性]]与通常意义下的[[马尔科夫链的可逆性]]是不等同的。前者的可逆性体现为马尔科夫概率转移矩阵的可逆性，也就是它针对状态空间中的每一个确定性状态的运算都是可逆的，所以也称其为动力学可逆的。但是，一般意义下的可逆的马尔科夫链并不要求转移矩阵是可逆的，而是要以稳态分布为时间反演对称的对称点，正向动力学运转下的状态分布与反向动力学运转下的状态分布完全一致，同时正反两种动力学都是在转移概率矩阵P下作用完成的。
由于[[排列置换矩阵]]过于特殊，我们需要能够衡量一般的马尔科夫概率转移矩阵与排列置换矩阵的靠近程度，以度量其[[近似动力学可逆性]]。在文献中，作者们提出了一种用矩阵的Schatten范数来度量一个马尔科夫概率转移矩阵的[[近似动力学可逆性]]的方法，定义为：
<math>
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}
</math>
这里，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，[math]\alpha\in(0,2)[/math]为一个指定的参数，它起到让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够更多地反映'''确定性'''还是'''简并性'''这样一种权重或倾向性。事实上，不难看出，如果让[math]\alpha\rightarrow 0[/math]，则[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就退化成了矩阵P的秩，即：
<math>
rank(P)=\sum_{i=1}^N\sigma_i^{0}
</math>
而[[矩阵的秩]]衡量的是矩阵P非退化（也就是可逆）的程度，与Degeneracy有着类似的效果。
而当[math]\alpha\rightarrow 2[/math]，则[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就退化成了矩阵P的[[Frobinius范数]]的平方，即：
<math>
||P||_F^2=\sum_{i=1}^N\sigma_i^{2}
</math>
这一指标衡量的是矩阵P的确定性的程度，这是因为只有当矩阵P中的所有行向量都是[[独热向量]]（one-hot）的时候，[math]||P||_F[/math]才会最大，因此它与Determinism有着类似的衡量效果。
所以，当[math]\alpha\in(0,2)[/math]连续变化的时候，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就可以在简并性与确定性二者之间切换。通常情况下，我们取[math]\alpha=1[/math]，这可以让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够在确定性与简并性之间达到一种平衡。
在文献中，作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：
<math>
EI\sim \log\Gamma_{\alpha}
</math>
关于[[马尔科夫链的近似动力学可逆性]]的进一步讨论和说明，请参考词条：[[近似动力学可逆性]]，以及论文：
=参考文献=
=参考文献=