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分形在不同的维度上看起来是相似的，就像'''曼德布洛特集  Mandelbrot Set''' 的连续放大一样;.正因如此，分形在自然界中无处不在。

分形在不同的维度上看起来是相似的，就像'''曼德布洛特集  Mandelbrot Set''' 的连续放大一样，<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="patterns" /><ref name="vicsek"/> 因此，分形在自然界中无处不在。

随着空间尺度不断变小，分形在某种结构或过程的特征却都是相似的。这样的现象我们称之为自相似。也称为'''扩展对称 Expanding Symmetry'''或'''展开对称  Unfolding Symmetry''';如果这种信息的复制结果在每个纬度上都完全相同，就像'''门格海绵  Menger Sponge''' 一样，则其具有'''仿射自相似性  Affine Self-similar'''。 分形几何是拓扑学的一个数学分支。

随着空间尺度不断变小，分形在某种结构或过程的特征却都是相似的。<ref name="Gouyet" />这样的现象我们称之为自相似，也称为'''扩展对称 Expanding Symmetry'''或'''展开对称  Unfolding Symmetry'''。如果这种信息的复制结果在每个纬度上都完全相同，就像'''门格海绵  Menger Sponge''' 一样，则其具有'''仿射自相似性  Affine Self-similar'''。 分形几何是拓扑学的一个数学分支。

分形与'''有限几何图形  Geometric Figures''' 的不同之处在于它们的缩放方式。 对于有限几何图形而言：将一个多边形的边长增加一倍，其面积会变为原来的四倍，也就是 2²倍。其中2为新边长与原边长之比，指数2为多边形所在空间的维数 。同样，如果一个球体的半径增加一倍，那么它的体积会变为原来的八倍，也就是2³倍。其中2为新旧半径之比，指数3为球体所在空间的的维数。 然而，如果使分形的一维长度增加一倍，那么分形的空间尺度却不一定变为原来的整数倍。 这是因为对于分形,如海岸线、科赫曲线、谢尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述，由此产生了一个新的概念：分形维数，它通常比分形的'''拓扑维数  Topological Dimension'''还要大。

分形与'''有限几何图形  Geometric Figures''' 的不同之处在于它们的缩放方式。 对于有限几何图形而言：将一个多边形的边长增加一倍，其面积会变为原来的四倍，也就是 2²倍。其中2为新边长与原边长之比，指数2为多边形所在空间的维数 。同样，如果一个球体的半径增加一倍，那么它的体积会变为原来的八倍，也就是2³倍。其中2为新旧半径之比，指数3为球体所在空间的的维数。 然而，如果使分形的一维长度增加一倍，那么分形的空间尺度却不一定变为原来的整数倍。<ref name="Mandelbrot1983">{{cite book |last=Mandelbrot |first=Benoît B. |title=The fractal geometry of nature |url=https://books.google.com/books?id=0R2LkE3N7-oC |year=1983 |publisher=Macmillan |isbn=978-0-7167-1186-5}}</ref> This power is called the [[fractal dimension]] of the fractal, and it usually exceeds the fractal's [[topological dimension]].<ref name="Mandelbrot Chaos">{{cite book | last=Mandelbrot | first=Benoît B. | title=Fractals and Chaos| publisher=Springer | location=Berlin | year=2004 |isbn=978-0-387-20158-0 | quote=A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension | page=38}}</ref>这是因为对于分形,如海岸线、科赫曲线、谢尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述，由此产生了一个新的概念：分形维数，它通常比分形的'''拓扑维数  Topological Dimension'''还要大。

分析学上，作为一个数学函数，分形通常是处处不可微的。无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行，与普通的曲线不同，它的拓扑维数仍然是 1，但由于分形维数大于1，这使得它也有类似曲面的性质。

分析学上，作为一个数学函数，分形通常是处处不可微的。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="vicsek" /><ref name="Gordon" /> 无穷分形曲线可以理解为一条一维的曲线在空间中绕行，与普通的曲线不同，它的拓扑维数仍然是 1，但由于分形维数大于1，这使得它也有类似曲面的性质。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Mandelbrot Chaos" />

我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪关于分形概念的发展史。 从 17 世纪有了递归的概念开始，到 19 世纪'''伯纳德·波尔查诺 Bernard Bolzano'''、'''波恩哈德·黎曼 Bernhard Riemann'''和'''卡尔·魏尔斯特拉斯  Karl Weierstrass'''对连续不可微函数开创性的研究，这些严谨的数学概念推动着分形的发展。随着计算机建模技术的飞速发展和学界的研究兴趣日益浓厚，分形这个词在20世纪被创造出来。

我们可以从这些年来正式发表的文献中追踪关于分形概念的发展史。 从 17 世纪有了递归的概念开始，到 19 世纪'''伯纳德·波尔查诺 Bernard Bolzano'''、'''波恩哈德·黎曼 Bernhard Riemann'''和'''卡尔·魏尔斯特拉斯  Karl Weierstrass'''对连续不可微函数开创性的研究，<ref>{{cite journal |last1=Segal |first1=S. L. |title=Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued |journal=The Mathematical Intelligencer |date=June 1978 |volume=1 |issue=2 |pages=81–82 |doi=10.1007/BF03023065}}</ref> 这些严谨的数学概念推动着分形的发展。随着计算机建模技术的飞速发展和学界的研究兴趣日益浓厚，分形这个词在20世纪被创造出来。<ref name="classics" /><ref name="MacTutor" />

1975 年'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''首次提出“'''分形  Fractal'''”这个术语。据曼德布洛特 教授自己说，'''Fractal'''一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时突然想到的。此词源于拉丁文形容词'''Fractus'''，对应的拉丁文动词是'''Frangere'''（“破碎”、“产生无规则碎片”）。此外与英文的'''Fraction'''（“碎片”、“分数”）及'''Fragment'''（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德布洛特 教授一直使用英文'''Fractional'''一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的'''Fractal'''，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙的断面，变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。之后，曼德布洛特 教授将分形的概念从理论上的分形维数拓展到自然界中的几何图形。

1975 年'''伯努·瓦曼德布洛特 Benoît B. Mandelbrot'''首次提出“'''分形  Fractal'''”这个术语。据曼德布洛特 教授自己说，'''Fractal'''一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时突然想到的。此词源于拉丁文形容词'''Fractus'''，对应的拉丁文动词是'''Frangere'''（“破碎”、“产生无规则碎片”）。此外与英文的'''Fraction'''（“碎片”、“分数”）及'''Fragment'''（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德布洛特 教授一直使用英文'''Fractional'''一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的'''Fractal'''，本意是不规则的、破碎的、分数的。芒德布罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙的断面，变幻无常的浮云、九曲回肠的河流、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。之后，曼德布洛特 教授将分形的概念从理论上的分形维数拓展到自然界中的几何图形。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Mandelbrot quote">{{cite book |title=Mathematical people : profiles and interviews |last1=Albers |first1=Donald J. |last2=Alexanderson |first2=Gerald L. |publisher=AK Peters |year=2008 |isbn=978-1-56881-340-0 |location=Wellesley, MA |page=214 |chapter=Benoît Mandelbrot: In his own words |author2-link=Gerald L. Alexanderson}}</ref>

在数学中，分形的生成是基于一个不断迭代的方程，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。如何良好的定义分形这一概念，权威学者之间仍有争论。曼德布洛特自己将分形总结为：“美丽、（研究起来）极其困难但又非常的有用，这就是分形”。 1982 年曼德布洛特提出了更正式的定义：“分形是一种其'''豪斯多夫维数  Hausdorff–Besicovitch Dimension''' 严格大于拓扑维数的集合”。 后来他认为这种定义过于严格，于是简化并扩展了这个定义：“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”又过了一段时间，曼德布洛特决定使用以下方式来描述分形：“...在研究和使用分形 时，不需要迂腐的定义。用分形维数作为描述各种不同分型的通用术语”。

在数学中，分形的生成是基于一个不断迭代的方程，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。如何良好的定义分形这一概念，权威学者之间仍有争论。曼德布洛特自己将分形总结为：“美丽、（研究起来）极其困难但又非常的有用，这就是分形”。<ref>{{cite web |last=Mandelbrot |first=Benoit |title=24/7 Lecture on Fractals |url=https://www.youtube.com/watch?v=5e7HB5Oze4g#t=70 |work=2006 Ig Nobel Awards |publisher=Improbable Research}}</ref>  1982 年曼德布洛特提出了更正式的定义：“分形是一种其'''豪斯多夫维数  Hausdorff–Besicovitch Dimension''' 严格大于拓扑维数的集合”。<ref>Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15.</ref>后来他认为这种定义过于严格，于是简化并扩展了这个定义：“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”<ref>{{cite book |author=Jens Feder |title=Fractals |url=https://books.google.com/books?id=mgvyBwAAQBAJ&pg=PA11 |year=2013 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4899-2124-6 |page=11}}</ref> 又过了一段时间，曼德布洛特决定使用以下方式来描述分形：“...在研究和使用分形 时，不需要迂腐的定义。用分形维数作为描述各种不同分型的通用术语”。 <ref>{{cite book |author=Gerald Edgar |title=Measure, Topology, and Fractal Geometry |url=https://books.google.com/books?id=dk2vruTv0_gC&pg=PR7 |year=2007 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-387-74749-1 |page=7}}</ref>

人们一致认为理论上的分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的精密数学结构，人们创造了许多分形图案并进行了充分的研究。 分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。 虽然分形是一种数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。 在自然、技术、艺术、建筑和法律等领域，人们对图形、结构和音频中不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论去生成新的图形、结构和音频。此外，分形和'''混沌理论  Chaos Theory'''密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。

人们一致认为理论上的分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的精密数学结构，人们创造了许多分形图案并进行了充分的研究。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="patterns">{{Cite book |title=Fractals:The Patterns of Chaos |last=Briggs |first=John |year= 1992 |publisher= Thames and Hudson |location= London |isbn=978-0-500-27693-8 |page=148 }}</ref> 分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。 虽然分形是一种数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。<ref name="Gouyet" /><ref name="vicsek" /><ref name="time series" /><ref>{{cite journal | last1 = Krapivsky | first1 = P. L. | last2 = Ben-Naim | first2 = E. | year = 1994 | title = Multiscaling in Stochastic Fractals | url = | journal = Physics Letters A | volume = 196 | issue = 3–4| page = 168 | doi=10.1016/0375-9601(94)91220-3| bibcode = 1994PhLA..196..168K }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Rodgers | first2 = G. J. | year = 1995 | title = Models of fragmentation and stochastic fractals | journal = Physics Letters A | volume = 208 | issue = 1–2 | page = 95 | doi=10.1016/0375-9601(95)00727-k| bibcode = 1995PhLA..208...95H }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Pavel | first2 = N. I. | last3 = Pandit | first3 = R. K. | last4 = Kurths | first4 = J. | year = 2014 | title = Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart | journal = Chaos, Solitons & Fractals | volume = 60 | issue = | pages = 31–39 | doi=10.1016/j.chaos.2013.12.010| bibcode = 2014CSF....60...31H | arxiv = 1401.0249 }}</ref>  在自然<ref name="heart" /><ref name="heartrate" /><ref name="cerebellum">{{Cite journal | last1=Liu | first1=Jing Z. | last2=Zhang | first2=Lu D. | last3=Yue | first3=Guang H. | doi=10.1016/S0006-3495(03)74817-6 | title=Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging | journal=Biophysical Journal | volume=85 | issue=6 | pages=4041–4046 | year=2003 | pmid=14645092 | pmc=1303704|bibcode = 2003BpJ....85.4041L }}</ref><ref name="neuroscience">{{Cite journal | last1=Karperien | first1=Audrey L. | last2=Jelinek | first2=Herbert F. | last3=Buchan | first3=Alastair M. | doi=10.1142/S0218348X08003880 | title=Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder | journal=Fractals | volume=16 | issue=2 | pages=103 | year=2008 | pmid= | pmc=}}</ref><ref name="branching" />、技术<ref name="soil">{{Cite journal | last1=Hu | first1=Shougeng | last2=Cheng | first2=Qiuming | last3=Wang | first3=Le | last4=Xie | first4=Shuyun | title=Multifractal characterization of urban residential land price in space and time | doi=10.1016/j.apgeog.2011.10.016 | journal=Applied Geography | volume=34 | pages=161–170 | year=2012 | pmid= | pmc=}}</ref><ref name="diagnostic imaging">{{Cite journal | last1=Karperien | first1=Audrey | last2=Jelinek | first2=Herbert F. | last3=Leandro | first3=Jorge de Jesus Gomes| last4=Soares | first4=João V. B. | last5=Cesar Jr | first5=Roberto M. | last6=Luckie | first6=Alan | title=Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice | journal=Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.) | volume=2 | issue=1 | pages=109–122 | year=2008 | pmid=19668394 | pmc=2698675| doi=10.2147/OPTH.S1579}}</ref><ref name="medicine">{{cite book|first1=Gabriele A. |last1=Losa |first2=Theo F. |last2=Nonnenmacher |title=Fractals in biology and medicine |url=https://books.google.com/books?id=t9l9GdAt95gC |year=2005 |publisher=Springer|isbn=978-3-7643-7172-2}}</ref><ref name="seismology" />、艺术<ref name="novel" /><ref name="African art" />、建筑<ref name="springer.com 9783319324241">Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) [https://www.springer.com/gp/book/9783319324241 The Fractal Dimension of Architecture]. Birhauser, Basel. {{doi|10.1007/978-3-319-32426-5}}.</ref> 和法律<ref name="legal fractal">{{cite journal |ssrn=2157804 |first=Andrew |last=Stumpff |title=The Law is a Fractal: The Attempt to Anticipate Everything |publisher=Loyola University Chicago Law Journal |page=649 |year=2013 |volume=44}}</ref>等领域，人们对图形、结构和音频中<ref name="music">{{Cite journal | last1=Brothers | first1=Harlan J. | doi=10.1142/S0218348X0700337X | title=Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3 | journal=Fractals | volume=15 | issue=1 | pages=89–95 | year=2007 | pmid= | pmc=}}</ref> 不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论去生成新的图形、结构和音频。此外，分形和'''混沌理论  Chaos Theory'''密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。<ref>{{cite web |url=http://necsi.edu/projects/baranger/cce.pdf| first=Michael |last=Baranger |title=Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists}}</ref>

==引言==

==引言==