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[[因果涌现]]理论最初是由Erick Hoel等人<ref>Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出，使用[[有效信息]]来量化离散[[马尔科夫动力学]]的[[因果]]性强弱。2020 年，Klein 等人<ref name=":0">Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>尝试将该方法应用到[[复杂网络]]中，然而为了量化复杂网络中的因果涌现，需要解决如下问题：定义网络节点动力学（引入随机游走子，假定每个节点具有随机游走动力学），定义有效信息（基于节点的概率转移矩阵，类比状态转移矩阵的有效信息计算方式），网络如何粗粒化（考虑不同的粗粒化方法，将微观节点粗粒化为宏观节点）、动力学一致性检验（保证粗粒化完以后的网络具有相同的随机游走动力学）等问题。
复杂网络中的因果涌现是指在复杂网络系统中，通过合适的粗粒化策略使得系统在宏观尺度展现出比微观尺度更强的因果特性。
[[复杂网络]]的研究涉及多个领域，包括物理学、生物学、计算机科学和社会科学等。这些网络通常由节点和连接这些节点的边组成，节点可以代表个体或元素，而边则代表它们之间的相互作用或联系。
[[因果涌现]]理论最初是由Erick Hoel<ref>Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>等人提出，用于量化离散[[马尔科夫动力学]]系统的因果性强弱。2020 年，Klein 等人<ref name=":0">Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>尝试将该方法应用到复杂网络中，在这个理论框架中，[[有效信息]]（Effective Information，简称EI）被用来表征系统动力学的因果特性，在更宏观的尺度上重铸网络并观察EI相比原始网络如何变化，当重铸网络（宏观尺度）比原始网络 （微观尺度）具有更高的 EI 时，则说明该网络就发生了因果涌现。
==历史==
==历史==
复杂网络的研究可以追溯到1736年欧拉解决哥尼斯堡七桥问题，而现代复杂网络理论则主要发展于20世纪末。欧拉通过研究哥尼斯堡的七桥问题，提出了图论的基本概念，这奠定了复杂网络分析的基础。在20世纪60年代，Erdos和Renyi提出了随机图论，这是首个系统性的网络模型，用于描述和分析大规模随机网络的特性。到了90年代，随着计算机能力的提升和互联网的发展，复杂网络的研究取得了突破性进展。1998年，Watts和Strogatz在《Nature》上发表了关于小世界网络的论文，揭示了许多实际网络中存在的“六度分离”现象。次年，Barabási和Albert在《Science》上提出了无标度网络模型，强调了实际网络中节点连接度的幂律分布特性。进入21世纪后，复杂网络理论吸引了来自数学、物理学、计算机科学、社会学等多个领域的研究者，成为一门交叉学科。
==定义网络节点动力学==
==复杂网络节点动力学的定义==
由于因果涌现理论量化的是系统的动力学，对于离散马尔科夫动力学来说就是[[状态转移矩阵]]TPM，然而对于网络来说，给定一个网络已知不具有动力学，需要人为定义网络节点的动力学，可以借助随机游走子定义网络中的马尔可夫链，从而假定网络中的每个节点具有[[随机游走动力学]]。
由于因果涌现理论量化的是系统的动力学，对于离散马尔科夫动力学来说就是[[状态转移矩阵]]TPM，然而对于网络来说，给定一个网络已知不具有动力学，需要人为定义网络节点的动力学，可以借助随机游走子定义网络中的马尔可夫链，从而假定网络中的每个节点具有[[随机游走动力学]]。
==有效信息定义==
==有效信息的定义==
将随机游走子放在节点上，等价于对节点做干预<math>do(·) </math>，基于随机游走概率可以定义节点的转移概率矩阵，建立了有效信息与网络连通性的联系，将网络节点类比系统状态构建网络动力学的有效信息。网络中的连通性可通过节点出边与入边的权重的不确定性来表征，包括两项：1）节点输出的不确定性可通过节点出权的香农熵定义，即<math>H(W_i^{out})</math>，因此整个网络的不确定性可通过<math><H(W_i^{out})></math>得到；2）基于网络的出边权重分布计算，<math>H(<W_i^{out}>)</math>反映了确定性如何在网络中分布。通过这2项就可得到复杂网络中的有效信息定义，<math>{J}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^ND_{KL}[W_i^{out}||<W_i^{out}>]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nw_{ij}\log_2(w_{ij})-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nw_{ij}log_2(W_j)=H(<W_i^{out}>)-<H(W_i^{out})></math>。 同样进一步，有效信息可以分解为确定性和简并性。
将随机游走子放在节点上，等价于对节点做干预<math>do(·) </math>，基于随机游走概率可以定义节点的转移概率矩阵，建立了有效信息与网络连通性的联系，将网络节点类比系统状态构建网络动力学的有效信息。网络中的连通性可通过节点出边与入边的权重的不确定性来表征，包括两项：1）节点输出的不确定性可通过节点出权的香农熵定义，即<math>H(W_i^{out})</math>，因此整个网络的不确定性可通过<math><H(W_i^{out})></math>得到；2）基于网络的出边权重分布计算，<math>H(<W_i^{out}>)</math>反映了确定性如何在网络中分布。通过这2项就可得到复杂网络中的有效信息定义，<math>{J}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^ND_{KL}[W_i^{out}||<W_i^{out}>]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nw_{ij}\log_2(w_{ij})-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^Nw_{ij}log_2(W_j)=H(<W_i^{out}>)-<H(W_i^{out})></math>。 同样进一步，有效信息可以分解为确定性和简并性。