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    <math>\mathbfcal{S}</math>的基数没有特别说明。<math>\mathbfcal{S}</math>可以是有限的，可数无限的，一个连续体，一个康托集，或一些奇异定格。这些例子在参考文献【5】和【10】中给出；特别查阅那里给出的隐马尔可夫模型的例子。

    <math>\mathbfcal{S}</math>的基数没有特别说明。<math>\mathbfcal{S}</math>可以是有限的，可数无限的，一个连续体，一个康托集，或一些奇异定格。这些例子在参考文献【5】和【10】中给出；特别查阅那里给出的隐马尔可夫模型的例子。

     

     

    可替换的也是等价的，我们可以定义等价关系<math>〜_ϵ</math>如两段历史是等价的当且仅当它们拥有相同的未来条件分布，并且定义因果态为由<math>〜_ϵ</math>生成的等价类。（实际上，这是文献【6】的原始方法。）不管什么方法，S<-的这种划分的切分由区域建成，这些区域使我们在不同条件下对未来有一些无知。

可替换的也是等价的，我们可以定义等价关系<math>〜_ϵ</math>如两段历史是等价的当且仅当它们拥有相同的未来条件分布，并且定义因果态为由<math>〜_ϵ</math>生成的等价类。（实际上，这是文献【6】的原始方法。）不管什么方法，<math>\overset{\gets}{\mathbf{S}}</math>的这种划分的切分由区域建成，这些区域使我们在不同条件下对未来有一些无知。

    最后的陈述建议了另一种，仍然等价，对ϵ的描述：

    最后的陈述建议了另一种，仍然等价，对ϵ的描述：

</math>

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使用这个我们可以构建初始的定义，等式【16】，将所有在每个新划分的历史空间S<-划分成序列就更加直观了。使用L+1导出，是对使用L导出的细化。在最粗糙的级别上，最前面的划分（L = 1）组成了那些历史，对于每一个下个观测有相同分布。这些类就使用下两个观测值的分布做细分，然后是下三个，四个，以此类推。这些划分序列的极限——到那个点，点里每个类中的每个成员都有着对未来相同分布，不管长度如何，同那个类中的每个其它成员一样——是由∼ϵ导出的S<-的划分。参阅附录B以获取更详细的讨论并查看∼ϵ的等价关系。

使用这个我们可以构建初始的定义，等式【16】，将所有在每个新划分的历史空间<math>\overset{\gets}{\mathbf{S}}</math>划分成序列就更加直观了。使用L+1导出，是对使用L导出的细化。在最粗糙的级别上，最前面的划分（L = 1）组成了那些历史，对于每一个下个观测有相同分布。这些类就使用下两个观测值的分布做细分，然后是下三个，四个，以此类推。这些划分序列的极限——到那个点，点里每个类中的每个成员都有着对未来相同分布，不管长度如何，同那个类中的每个其它成员一样——是由∼ϵ导出的<math>\overset{\gets}{\mathbf{S}}</math>的划分。参阅附录B以获取更详细的讨论并查看∼ϵ的等价关系。

    虽然他们不会直接关心以下的部分，因为时间渐近的限制存在，有短暂的因果态添加到在等式【16】中定义的（循环）因果态。大致地说，短暂的因果态描述了怎样延长观测序列（一段历史）以使我们去用标识循环因果态并提升准确性。可查阅附录B和参考文献【10】和【65】中的发展，以了解瞬时因果态的详情。

    虽然他们不会直接关心以下的部分，因为时间渐近的限制存在，有短暂的因果态添加到在等式【16】中定义的（循环）因果态。大致地说，短暂的因果态描述了怎样延长观测序列（一段历史）以使我们去用标识循环因果态并提升准确性。可查阅附录B和参考文献【10】和【65】中的发展，以了解瞬时因果态的详情。

     

     

    因果态是实际状态的一种特殊种类，他们拥有对实际状态来说普遍的属性（第Ⅲ节B部分）。在特殊情况下，每个因果态Si拥有若干结构附加：

    因果态是实际状态的一种特殊种类，他们拥有对实际状态来说普遍的属性（第Ⅲ节B部分）。在特殊情况下，每个因果态<math>\mathcal{S}_i</math>拥有若干结构附加：

     

     

1. 索引i——状态的“名称”。

1. 索引i——状态的“名称”。

理想情况下，这些的每一个都应由不同的符号表示，而且应该是清晰的函数，链接每个结构到他们的因果态。为了保持术语增涨受控，尽管这样，我们还是战略性地模糊掉他们的区别。读者或许以各种方式绘制ϵ为映射历史到(i)简单索引，（ii）历史的子集，或（iii）索引、子集、和变体的有序三元组；或甚至某人让ϵ没有解释性，如同偏好所向，不干涉随后的发展。

理想情况下，这些的每一个都应由不同的符号表示，而且应该是清晰的函数，链接每个结构到他们的因果态。为了保持术语增涨受控，尽管这样，我们还是战略性地模糊掉他们的区别。读者或许以各种方式绘制ϵ为映射历史到(i)简单索引，（ii）历史的子集，或（iii）索引、子集、和变体的有序三元组；或甚至某人让ϵ没有解释性，如同偏好所向，不干涉随后的发展。

图 2. 一个表示将所有历史的集合S<-划分到因果态Si ∈S的示意图。在每个因果态中所有的单独历史s<-拥有相同的变体——对将来对测相同的条件分布P(S->|s<-)。

图 2. 一个表示将所有历史的集合<math>\overset{\gets}{\mathbf{S}}</math>划分到因果态<math>\mathcal{S}_i \in \mathbfcal{S}</math>的示意图。在每个因果态中所有的单独历史<math>\overset{\gets}{s}</math>拥有相同的变体——对将来对测相同的条件分布<math>P(\overset{\to}{S} \vert \overset{\gets}{s})</math>。

1. 变体

1. 变体

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(再一次，这点对实际状态通常不是真的。)这种观测让我们证明一个有用的引理，关于过去S<-和未来S->条件无关。

(再一次，这点对实际状态通常不是真的。)这种观测让我们证明一个有用的引理，关于过去<math>\overset{\gets}{S}</math>和未来<math>\overset{\to}{S}</math>条件无关。

引理2 过去和未来是无关的，在因果态的分布上。

引理2 过去和未来是无关的，在因果态的分布上。

现在，P(S = ρ|S<- = s<-) = 0, 直到ρ = ϵ(s<-), 在这种情况P(S = ρ| S<- = s<-) = 1. 每种情况，在等式(21)最后一行前面两个因子可以写成等式（18），

现在，<math>P(\mathcal{S} = ρ \vert \overset{\gets}{S} = \overset{\gets}{s}) = 0</math>, 直到<math>ρ = ϵ(\overset{\gets}{s})</math>, 在这种情况<math>P(\mathcal{S} = ρ\vert \overset{\gets}{S} = \overset{\gets}{s}) = 1</math>. 每种情况，在等式(21)最后一行前面两个因子可以写成等式（18），

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