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→因果涌现最优化时粗粒化参数的解集
\tilde{W}_k\in \mathcal{R}^{k\times k}
\tilde{W}_k\in \mathcal{R}^{k\times k}
</math>可以是任何可逆矩阵。
</math>可以是任何可逆矩阵。
====== 二维到一维的粗粒化 ======
在平面上<math>
k=1，n=2
</math>，粗粒化参数矩阵就是一个行向量<math>
W=(w_1，w_2})\in\mathcal{R}^{1\times 2}
</math>，特征向量矩阵<math>
V=(v_1,v_2)\in\mathcal｛R｝^{2\times 2}
</math>可以视为2个二维向量的组合。如果特征值<math>
\lambda_1>\lambda_2
</math>，我们只需要保留第一个特征值，舍弃第二个特征值，因此只需要满足在二维平面上<math>
Wv_2=w_1v_{12}+w_2v_{22}=0
</math>，不难发现此方程刚好代表一条直线。
与此同时，还需要<math>
W\Sigma W^{T}=\epsilon
</math>，解集刚好是个椭圆。因此最终的解空间可以表示为
<math>
\begin{cases}
Wv_2=0,\\
(w_1w_1^{T})(w_2w_2^{T})=\epsilon,
\end{cases}
</math>
即一个椭圆与一条直线的两个交点。
==== 三维到二维的粗粒化 ====
==== 三维到二维的粗粒化 ====
在三维空间中的特定情况下，当<math>
在三维空间中的特定情况下，当<math>
k=2，n=3
k=2，n=3
</math>，矩<math>
</math>，矩阵<math>
W=(w_1^{T}，w_2^{T})^{T}\in\mathcal{R}^{2\times 3}
W=(w_1^{T}，w_2^{T})^{T}\in\mathcal{R}^{2\times 3}
</math>可以拆分为两个行向量，<math>
</math>可以拆分为两个行向量，<math>