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分形在不同的维度上看起来是相似的，就像~~'''~~曼德布洛特集 Mandelbrot Set~~'''~~ 的连续放大一样，<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="patterns" /><ref name="vicsek"/> 因此，分形在自然界中无处不在。

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分形在不同的维度上看起来是相似的，就像[[曼德布洛特集 Mandelbrot Set]]的连续放大一样，<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="patterns" /><ref name="vicsek"/> 因此，分形在自然界中无处不在。

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在数学中，分形的生成是基于一个不断迭代的方程，即一种基于递归的反馈系统。分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义。如何良好的定义分形这一概念，权威学者之间仍有争论。曼德布洛特自己将分形总结为：“美丽、（研究起来）极其困难但又非常的有用，这就是分形”。<ref>{{cite web |last=Mandelbrot |first=Benoit |title=24/7 Lecture on Fractals |url=https://www.youtube.com/watch?v=5e7HB5Oze4g#t=70 |work=2006 Ig Nobel Awards |publisher=Improbable Research}}</ref> 1982 年曼德布洛特提出了更正式的定义：“分形是一种其'''豪斯多夫维数 Hausdorff–Besicovitch Dimension''' 严格大于拓扑维数的集合”。<ref>Mandelbrot, B. B.: The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company, New York (1982); p. 15.</ref>后来他认为这种定义过于严格，于是简化并扩展了这个定义：“分形是由与整体在某些方面相似的部分构成的图形。”<ref>{{cite book |author=Jens Feder |title=Fractals |url=https://books.google.com/books?id=mgvyBwAAQBAJ&pg=PA11 |year=2013 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4899-2124-6 |page=11}}</ref> 又过了一段时间，曼德布洛特决定使用以下方式来描述分形：“...在研究和使用分形时，不需要迂腐的定义。用分形维数作为描述各种不同分型的通用术语”。 <ref>{{cite book |author=Gerald Edgar |title=Measure, Topology, and Fractal Geometry |url=https://books.google.com/books?id=dk2vruTv0_gC&pg=PR7 |year=2007 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-387-74749-1 |page=7}}</ref>

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人们一致认为理论上的分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的精密数学结构，人们创造了许多分形图案并进行了充分的研究。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="patterns">{{Cite book |title=Fractals:The Patterns of Chaos |last=Briggs |first=John |year= 1992 |publisher= Thames and Hudson |location= London |isbn=978-0-500-27693-8 |page=148 }}</ref> 分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。虽然分形是一种数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。<ref name="Gouyet" /><ref name="vicsek" /><ref name="time series" /><ref>{{cite journal | last1 = Krapivsky | first1 = P. L. | last2 = Ben-Naim | first2 = E. | year = 1994 | title = Multiscaling in Stochastic Fractals | url = | journal = Physics Letters A | volume = 196 | issue = 3–4| page = 168 | doi=10.1016/0375-9601(94)91220-3| bibcode = 1994PhLA..196..168K }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Rodgers | first2 = G. J. | year = 1995 | title = Models of fragmentation and stochastic fractals | journal = Physics Letters A | volume = 208 | issue = 1–2 | page = 95 | doi=10.1016/0375-9601(95)00727-k| bibcode = 1995PhLA..208...95H }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Pavel | first2 = N. I. | last3 = Pandit | first3 = R. K. | last4 = Kurths | first4 = J. | year = 2014 | title = Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart | journal = Chaos, Solitons & Fractals | volume = 60 | issue = | pages = 31–39 | doi=10.1016/j.chaos.2013.12.010| bibcode = 2014CSF....60...31H | arxiv = 1401.0249 }}</ref> 在自然<ref name="heart" /><ref name="heartrate" /><ref name="cerebellum">{{Cite journal | last1=Liu | first1=Jing Z. | last2=Zhang | first2=Lu D. | last3=Yue | first3=Guang H. | doi=10.1016/S0006-3495(03)74817-6 | title=Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging | journal=Biophysical Journal | volume=85 | issue=6 | pages=4041–4046 | year=2003 | pmid=14645092 | pmc=1303704|bibcode = 2003BpJ....85.4041L }}</ref><ref name="neuroscience">{{Cite journal | last1=Karperien | first1=Audrey L. | last2=Jelinek | first2=Herbert F. | last3=Buchan | first3=Alastair M. | doi=10.1142/S0218348X08003880 | title=Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder | journal=Fractals | volume=16 | issue=2 | pages=103 | year=2008 | pmid= | pmc=}}</ref><ref name="branching" />、技术<ref name="soil">{{Cite journal | last1=Hu | first1=Shougeng | last2=Cheng | first2=Qiuming | last3=Wang | first3=Le | last4=Xie | first4=Shuyun | title=Multifractal characterization of urban residential land price in space and time | doi=10.1016/j.apgeog.2011.10.016 | journal=Applied Geography | volume=34 | pages=161–170 | year=2012 | pmid= | pmc=}}</ref><ref name="diagnostic imaging">{{Cite journal | last1=Karperien | first1=Audrey | last2=Jelinek | first2=Herbert F. | last3=Leandro | first3=Jorge de Jesus Gomes| last4=Soares | first4=João V. B. | last5=Cesar Jr | first5=Roberto M. | last6=Luckie | first6=Alan | title=Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice | journal=Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.) | volume=2 | issue=1 | pages=109–122 | year=2008 | pmid=19668394 | pmc=2698675| doi=10.2147/OPTH.S1579}}</ref><ref name="medicine">{{cite book|first1=Gabriele A. |last1=Losa |first2=Theo F. |last2=Nonnenmacher |title=Fractals in biology and medicine |url=https://books.google.com/books?id=t9l9GdAt95gC |year=2005 |publisher=Springer|isbn=978-3-7643-7172-2}}</ref><ref name="seismology" />、艺术<ref name="novel" /><ref name="African art" />、建筑<ref name="springer.com 9783319324241">Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) [https://www.springer.com/gp/book/9783319324241 The Fractal Dimension of Architecture]. Birhauser, Basel. {{doi|10.1007/978-3-319-32426-5}}.</ref> 和法律<ref name="legal fractal">{{cite journal |ssrn=2157804 |first=Andrew |last=Stumpff |title=The Law is a Fractal: The Attempt to Anticipate Everything |publisher=Loyola University Chicago Law Journal |page=649 |year=2013 |volume=44}}</ref>等领域，人们对图形、结构和音频中<ref name="music">{{Cite journal | last1=Brothers | first1=Harlan J. | doi=10.1142/S0218348X0700337X | title=Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3 | journal=Fractals | volume=15 | issue=1 | pages=89–95 | year=2007 | pmid= | pmc=}}</ref> 不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论去生成新的图形、结构和音频。此外，分形和~~'''~~混沌理论 Chaos Theory~~'''~~密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。<ref>{{cite web |url=http://necsi.edu/projects/baranger/cce.pdf| first=Michael |last=Baranger |title=Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists}}</ref>

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人们一致认为理论上的分形是无限迭代、自相似的、具有分形维数的精密数学结构，人们创造了许多分形图案并进行了充分的研究。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="patterns">{{Cite book |title=Fractals:The Patterns of Chaos |last=Briggs |first=John |year= 1992 |publisher= Thames and Hudson |location= London |isbn=978-0-500-27693-8 |page=148 }}</ref> 分形并不限于几何图形，它也可以描述时间序列。虽然分形是一种数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术作品的范畴。分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。<ref name="Gouyet" /><ref name="vicsek" /><ref name="time series" /><ref>{{cite journal | last1 = Krapivsky | first1 = P. L. | last2 = Ben-Naim | first2 = E. | year = 1994 | title = Multiscaling in Stochastic Fractals | url = | journal = Physics Letters A | volume = 196 | issue = 3–4| page = 168 | doi=10.1016/0375-9601(94)91220-3| bibcode = 1994PhLA..196..168K }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Rodgers | first2 = G. J. | year = 1995 | title = Models of fragmentation and stochastic fractals | journal = Physics Letters A | volume = 208 | issue = 1–2 | page = 95 | doi=10.1016/0375-9601(95)00727-k| bibcode = 1995PhLA..208...95H }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Pavel | first2 = N. I. | last3 = Pandit | first3 = R. K. | last4 = Kurths | first4 = J. | year = 2014 | title = Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart | journal = Chaos, Solitons & Fractals | volume = 60 | issue = | pages = 31–39 | doi=10.1016/j.chaos.2013.12.010| bibcode = 2014CSF....60...31H | arxiv = 1401.0249 }}</ref> 在自然<ref name="heart" /><ref name="heartrate" /><ref name="cerebellum">{{Cite journal | last1=Liu | first1=Jing Z. | last2=Zhang | first2=Lu D. | last3=Yue | first3=Guang H. | doi=10.1016/S0006-3495(03)74817-6 | title=Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging | journal=Biophysical Journal | volume=85 | issue=6 | pages=4041–4046 | year=2003 | pmid=14645092 | pmc=1303704|bibcode = 2003BpJ....85.4041L }}</ref><ref name="neuroscience">{{Cite journal | last1=Karperien | first1=Audrey L. | last2=Jelinek | first2=Herbert F. | last3=Buchan | first3=Alastair M. | doi=10.1142/S0218348X08003880 | title=Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder | journal=Fractals | volume=16 | issue=2 | pages=103 | year=2008 | pmid= | pmc=}}</ref><ref name="branching" />、技术<ref name="soil">{{Cite journal | last1=Hu | first1=Shougeng | last2=Cheng | first2=Qiuming | last3=Wang | first3=Le | last4=Xie | first4=Shuyun | title=Multifractal characterization of urban residential land price in space and time | doi=10.1016/j.apgeog.2011.10.016 | journal=Applied Geography | volume=34 | pages=161–170 | year=2012 | pmid= | pmc=}}</ref><ref name="diagnostic imaging">{{Cite journal | last1=Karperien | first1=Audrey | last2=Jelinek | first2=Herbert F. | last3=Leandro | first3=Jorge de Jesus Gomes| last4=Soares | first4=João V. B. | last5=Cesar Jr | first5=Roberto M. | last6=Luckie | first6=Alan | title=Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice | journal=Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.) | volume=2 | issue=1 | pages=109–122 | year=2008 | pmid=19668394 | pmc=2698675| doi=10.2147/OPTH.S1579}}</ref><ref name="medicine">{{cite book|first1=Gabriele A. |last1=Losa |first2=Theo F. |last2=Nonnenmacher |title=Fractals in biology and medicine |url=https://books.google.com/books?id=t9l9GdAt95gC |year=2005 |publisher=Springer|isbn=978-3-7643-7172-2}}</ref><ref name="seismology" />、艺术<ref name="novel" /><ref name="African art" />、建筑<ref name="springer.com 9783319324241">Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) [https://www.springer.com/gp/book/9783319324241 The Fractal Dimension of Architecture]. Birhauser, Basel. {{doi|10.1007/978-3-319-32426-5}}.</ref> 和法律<ref name="legal fractal">{{cite journal |ssrn=2157804 |first=Andrew |last=Stumpff |title=The Law is a Fractal: The Attempt to Anticipate Everything |publisher=Loyola University Chicago Law Journal |page=649 |year=2013 |volume=44}}</ref>等领域，人们对图形、结构和音频中<ref name="music">{{Cite journal | last1=Brothers | first1=Harlan J. | doi=10.1142/S0218348X0700337X | title=Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3 | journal=Fractals | volume=15 | issue=1 | pages=89–95 | year=2007 | pmid= | pmc=}}</ref> 不同程度自相似的分形图形进行了研究，并反过来利用分形理论去生成新的图形、结构和音频。此外，分形和[[混沌理论 Chaos Theory]]密切相关，因为混沌过程的图形大多数都是分形。<ref>{{cite web |url=http://necsi.edu/projects/baranger/cce.pdf| first=Michael |last=Baranger |title=Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists}}</ref>

==引言==

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'''~~“自相似性~~ Self-~~Similarity”~~'''的特征很容易理解，它类似于用镜头或其它装置放大图像，以便发现更精细的、以前看不见的新结构。然而，如果放大一个分形的图像，就不会出现新的细节; 图像没有任何变化，相同的图案一遍遍地重复出现。或者对于某些分形来说，几乎相同的图案一遍遍地重复出现。自相似性本身并不一定违反直觉。人们在生活中也能看到自我相似的现象，例如：两面平行的镜子间的无限重复、山上庙里老和尚的故事里的山......分形的不同之处在于重复的图案一定有着详尽的细节。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="Mandelbrot quote" />

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'''自相似性 Self-Similarity'''的特征很容易理解，它类似于用镜头或其它装置放大图像，以便发现更精细的、以前看不见的新结构。然而，如果放大一个分形的图像，就不会出现新的细节; 图像没有任何变化，相同的图案一遍遍地重复出现。或者对于某些分形来说，几乎相同的图案一遍遍地重复出现。自相似性本身并不一定违反直觉。人们在生活中也能看到自我相似的现象，例如：两面平行的镜子间的无限重复、山上庙里老和尚的故事里的山......分形的不同之处在于重复的图案一定有着详尽的细节。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="Falconer" /><ref name="Mandelbrot quote" />

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这也引出了分形的第三个特征：分形在数学上是处处不可微的。具体来说，这意味着分形不能用传统的方法进行测量。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="vicsek" /><ref name="Gordon" />当测量波浪型非分形曲线的长度时，通过尽可能的放大，总能找到可测量的直线来拟合一小段曲线，从而就能用卷尺测量这段直线的长度，再将各段直线长度相加，就可以得出波浪的长度。这样做实质上是把曲线看作数学上的函数，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，然后求和总长度。但是在测量无限“扭动”的分形曲线时，譬如科赫雪花。（科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的）因为不论缩放到多小的尺度，锯齿状的图案总是会重复出现，因此，我们无法找到一条足够小的直线段来拟合曲线。当试图将卷尺越来越贴合曲线时，卷尺总会被拉长一些，这导致我们必须用无限长的卷尺才能完美的拟合整条科赫曲线。也就是说，科赫曲线的长度为无限大。同理，科赫雪花的周长也无限大。<ref name="Mandelbrot1983" />

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这也引出了分形的第三个特征：分形在数学上是处处不可微的。具体来说，这意味着分形不能用传统的方法进行测量。<ref name="Mandelbrot1983" /><ref name="vicsek" /><ref name="Gordon" />当测量波浪型非分形曲线的长度时，通过尽可能的放大，总能找到可测量的直线来拟合一小段曲线，从而就能用卷尺测量这段直线的长度，再将各段直线长度相加，就可以得出波浪的长度。这样做实质上是把曲线看作数学上的函数，在一小段范围内取一阶泰勒展开，近似为直线，然后求和总长度。但是在测量无限“扭动”的分形曲线时，譬如科赫雪花。（科赫雪花是以等边三角形三边生成的科赫曲线组成的）因为不论缩放到多小的尺度，锯齿状的图案总是会重复出现，因此，我们无法找到一条足够小的直线段来拟合曲线。当试图将卷尺越来越贴合曲线时，卷尺总会被拉长一些，这导致我们必须用无限长的卷尺才能完美的拟合整条科赫曲线。也就是说，科赫曲线的长度为无限大。同理，科赫雪花的周长也无限大。<ref name="Mandelbrot1983" />

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