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[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
==近似动力学可逆性==
==理论==
下面将定义马尔科夫链上的严格动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对严格动力学可逆性的接近程度。
===马尔科夫链动力学可逆性===
== 什么是动力学可逆性 ==
对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
\chi
\chi
</math>的有效TPM，则<math>
</math>的有效TPM，则<math>
\chi
\chi
</math>和P 可以称为动力学可逆。
</math>和P 可以称为严格动力学可逆的。
=== 定理1 ===
对于一个给定的马尔科夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
纯粹的[[置换矩阵]]在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
纯粹的[[置换矩阵]]在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
一个重要的观察是：所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。
一个重要的观察是：所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。
首先，矩阵的秩可以被写作：
首先，矩阵的秩可以被写作：
其中<math>
其中<math>
\sigma_{i}
\sigma_{i}
</math>是矩阵P的第i个奇异值。紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
</math>是矩阵P的第i个奇异值。
紧接着，矩阵的弗罗贝尼乌斯范数可以被写作：
<math>
<math>
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
=== 定义矩阵P的近似动力学可逆性： ===
== 近似动力学可逆性 ==
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
假设马尔科夫链的概率转移矩阵为P，奇异值为<math>
假设马尔科夫链的概率转移矩阵为P，奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
其中<math>
其中<math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>
</math>是参数。
实际上，当<math>
\alpha\ge1
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>是P的沙滕范数（Schatten norm）；当<math>
0<\alpha<1
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>是P的准范数（quasinorm）。
使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>来得到。\le
=== 定理2 ===
== 决定性和简并性 ==
== 归一化及例子 ==
== <math>
\Gamma_{\alpha}
</math>和EI的联系 ==
=== 定理3 ===
=== 定理4 ===
== 一种新的因果涌现量化方法 ==