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如果通过有效的粗粒化使得宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（也就是<math>CE>0</math>），那么我们认为在该粗粒化基础上宏观动力学具有因果涌现特性。

如果通过有效的粗粒化使得宏观动力学的有效信息大于微观动力学的有效信息（也就是<math>CE>0</math>），那么我们认为在该粗粒化基础上宏观动力学具有因果涌现特性。

在文献<ref name=":1"/>中，Hoel给出一个含有8个状态的马尔科夫链的状态转移矩阵例子，如图a所示。其中前7个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，通过将前7个状态粗粒化成一个状态，可以得到右图所示确定的宏观系统，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。

在文献<ref name=":0"/>中，Hoel给出一个含有8个状态的马尔科夫链的状态转移矩阵例子，如图a所示。其中前7个状态之间等概率转移，最后一个状态是独立的，通过将前7个状态粗粒化成一个状态，可以得到右图所示确定的宏观马尔科夫转移矩阵，即系统的未来状态完全可以由当前状态决定。此时<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>，系统发生了因果涌现。

[[文件:状态空间中的因果涌现.png|居中|500x500像素|状态空间上的因果涌现|替代=|缩略图]]

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此外，论文<ref name=":1"/>中也包括一个[[布尔网络]]的例子，下图展示1个含有4个节点的布尔网络，每个节点有0和1两种状态，每个节点与其中两个节点相连，遵循相同的微观[[动力学机制]]（a图），因此，一共含有十六个微观状态，可以得到一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图），然后给定分组方式，如将A和B进行合并，C和D进行合并（b图），同时给定微观状态到宏观状态的映射函数（d图），就可以得到新的宏观动力学机制，根据这个机制就可以得到宏观网络的状态转移矩阵（e图），通过对比发现宏观动力学的[[有效信息]]大于微观动力学的有效信息（<math>EI(S_M\ )>EI(S_m\ ) </math>），系统发生了因果涌现。

另一个例子是一个[[布尔网络]]中发生因果涌现的例子<ref name=":0"/>中。如图所示，这是一个含有4个节点的布尔网络，每个节点有0和1两种状态，每个节点与另外两个节点相连，遵循相同的微观[[动力学机制]]（a图）。因此，该系统一共含有十六个微观状态，它的动力学可以用一个<math>16\times16 </math>的状态转移矩阵（c图）表示。

 

进一步，如果我们给定分组方式，如将A和B进行合并，C和D进行合并（如b图所示），同时给定微观状态到宏观状态的映射函数（如d图所示），就可以得到一个新的宏观的布尔网络以及它的动力学机制，根据这个机制就可以得到宏观网络的状态转移矩阵（如e图所示）。通过对比，我们发现宏观动力学的[[有效信息]]大于微观动力学的[[有效信息]]（<math>EI(f_M\ )>EI(f_m\ ) </math>），该系统发生了因果涌现。

[[文件:含有4个节点的布尔网络.png|居中|700x700像素|离散布尔网络上的因果涌现|替代=含有4个节点布尔网络的因果涌现|缩略图]]

[[文件:含有4个节点的布尔网络.png|居中|700x700像素|离散布尔网络上的因果涌现|替代=含有4个节点布尔网络的因果涌现|缩略图]]

然而，该方法只能应用到离散的状态转移矩阵中，为了拓展该方法，Hoel等人提出了[[因果几何]]框架<ref name="Chvykov_causal_geometry">{{cite journal|author1=Chvykov P|author2=Hoel E.|title=Causal Geometry|journal=Entropy|year=2021|volume=23|issue=1|page=24|url=https://doi.org/10.3390/e2}}</ref>尝试将有效信息指标拓展到连续系统中，解决了[[随机函数映射]]的EI计算问题，同时还引入了干预噪音和[[因果几何]]的概念，并定义了EI的局部形式，并将这种形式与[[信息几何]]进行了对照和类比。然而该方法也存在一些局限性，只能应用到[[随机映射函数]]中无法应用到动力学上。

进一步，在<ref name="Chvykov_causal_geometry">{{cite journal|author1=Chvykov P|author2=Hoel E.|title=Causal Geometry|journal=Entropy|year=2021|volume=23|issue=1|page=24|url=https://doi.org/10.3390/e2}}</ref>一文中，Hoel等人提出了[[因果几何]]理论框架，试图将因果涌现理论推广到具有连续状态的马尔科夫动力系统之中，对[[随机函数映射]]定义了EI，同时还引入了干预噪音和[[因果几何]]的概念，并将这一概念与[[信息几何]]进行了对照和类比。[[刘凯威]]等人又进一步给出了[[随机迭代动力系统]]的精确解析的因果涌现理论。

====Rosas的因果涌现理论====

====Rosas的因果涌现理论====