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EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
</math>
</math>
===定义因果涌现强度===
===清晰因果涌现===
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
\chi
\chi
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
<math>
<math>
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\cdot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\cdot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
</math>
</math>
===定义模糊因果涌现===
===模糊因果涌现===
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
\chi
\chi
这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。
这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。
当<math>
当<math>
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见参考文献<ref name="Zhangjiang" />附录A.3.1。
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见参考文献<ref name="Zhangjiang" />附录A.3.1。
==<math>\Gamma</math>和EI的比较==
==与有效信息（EI）的比较==
===相似性===
===相似性===
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
==量化因果涌现==
==测试量化因果涌现的效果==
===布尔网络===
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
[[文件:截屏2024-08-14 11.10.36.png.png|居中|缩略图|755x755px|图2|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-14 11.10.36.png.png|居中|缩略图|755x755px|图2|替代=]]
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]
===复杂网络===
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图2(j-l)）和细胞自动机（图3(g-i)）。图2（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图2(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图2(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图2(j-l)）。图2（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图2(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图2(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。我们可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
</math>。我们可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
===元胞自动机===
如图3（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图3(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图3(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
如图3（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图3(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图3(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
\Delta\Gamma
\Gamma
\Gamma
</math>不变。
</math>不变。
===方法===
粗粒化方法包括五个步骤：1) 对TPM进行SVD分解；2)选择一个<math>
粗粒化方法包括五个步骤：1) 对TPM进行SVD分解；2)选择一个<math>
\epsilon
\epsilon
\Phi</math>；以及 5) 利用<math>
\Phi</math>；以及 5) 利用<math>
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
===测试效果===
我们在图2 和图3 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图2(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图2(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>
我们在图2 和图3 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图2(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图2(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图2(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图2(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>