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</math>，用于量化因果涌现的强度。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化上，该理论与Eric Hoel等人提出的基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论具有相同的效果，且<math>

</math>，用于量化因果涌现的强度。经过理论推导和数值实验证明，在对因果涌现的判断和量化上，该理论与Eric Hoel等人提出的基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论具有相同的效果，且<math>

\Gamma_{\alpha}

\Gamma_{\alpha}

</math>和EI在多个方面存在联系。此外，该理论还提出了基于奇异值分解（SVD）的新粗粒化策略，并通过实验证明了该方法的有效性。

</math>和EI在多个方面存在联系。此外，该理论还提出了基于[[奇异值分解]]（SVD）的新粗粒化策略，并通过实验证明了该方法的有效性。

=简介=

=简介=

Erik Hoel的因果涌现理论存在着需要指定粗粒化策略的问题，Rosas的信息分解理论并没有完全解决，因此，[[张江]]等人进一步提出了<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于奇异值分解和动力学近似可逆性的因果涌现理论。

Erik Hoel的因果涌现理论存在着需要指定粗粒化策略的问题，Rosas的信息分解理论并没有完全解决，因此，[[张江]]等人进一步提出了<ref name=":2">Zhang J, Tao R, Yuan B. Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence. arXiv preprint arXiv:2402.15054. 2024 Feb 23.</ref>基于奇异值分解和动力学近似可逆性的因果涌现理论。

给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，我们可以对它进行[[奇异值分解]]，得到两个正交且归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>，和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]为<math>P</math>的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，<math>N</math>为<math>P</math>的状态数量。

给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，我们可以对它进行奇异值分解，得到两个正交且归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>，和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>，其中[math]\Sigma=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N)[/math]，其中[math]\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\sigma_N[/math]为<math>P</math>的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，<math>N</math>为<math>P</math>的状态数量。

我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量，即：

我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方之和定义为马尔科夫动力学的近似可逆性度量，即：

而且，在一定程度上可以用[math]\Gamma_{\alpha}[/math]替代EI对马尔科夫链的因果效应程度进行度量。

而且，在一定程度上可以用[math]\Gamma_{\alpha}[/math]替代EI对马尔科夫链的因果效应程度进行度量。

如果<math>P</math>的秩为<math>r</math>，即从第<math>r+1</math>个奇异值开始，奇异值都为0，则我们称动力学<math>P</math>存在着'''清晰的因果涌现'''（Clear Causal Emergence），并且因果涌现的数值为：<math>

如果<math>P</math>的秩为<math>r</math>，即从第<math>r+1</math>个奇异值开始，奇异值都为0，则我们称动力学<math>P</math>存在着'''清晰因果涌现'''（Clear Causal Emergence），并且因果涌现的数值为：<math>

\Delta \Gamma_{\alpha} =  \Gamma_{\alpha}(1/r-1/N)

\Delta \Gamma_{\alpha} =  \Gamma_{\alpha}(1/r-1/N)

</math>

</math>

如果矩阵<math>P</math>满秩，但是对于任意给定的小数<math>\epsilon</math>，存在<math>r_{\epsilon}</math>，使得从<math>r_{\epsilon}+1</math>开始，所有的奇异值都小于<math>\epsilon</math>，则称系统存在着程度的'''模糊的因果涌现'''（Vague Causal Emergence），且因果涌现的数值为：<math>\Delta \Gamma_{\alpha}(\epsilon) =  \frac{\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i}^{\alpha}}{r} -  \frac{\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{\alpha}}{N} </math>

如果矩阵<math>P</math>满秩，但是对于任意给定的小数<math>\epsilon</math>，存在<math>r_{\epsilon}</math>，使得从<math>r_{\epsilon}+1</math>开始，所有的奇异值都小于<math>\epsilon</math>，则称系统存在着程度的'''模糊因果涌现'''（Vague Causal Emergence），且因果涌现的数值为：<math>\Delta \Gamma_{\alpha}(\epsilon) =  \frac{\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i}^{\alpha}}{r} -  \frac{\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{\alpha}}{N} </math>

总结来看，该定量化因果涌现的方法的好处在于，它可以不依赖于具体的粗粒化策略，因而可以更加客观地量化因果涌现。该方法的缺点是，若要计算[math]\Gamma_{\alpha}[/math]，需要事先对P进行[[SVD分解]]，因而计算复杂度为[math]O(N^3)[/math]，因而比<math>EI</math>的计算复杂度高。而且，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]不能显式地分解为确定度和简并度两个分量。

总结来看，该定量化因果涌现的方法的好处在于，它可以不依赖于具体的粗粒化策略，因而可以更加客观地量化因果涌现。该方法的缺点是，若要计算[math]\Gamma_{\alpha}[/math]，需要事先对P进行[[SVD分解]]，因而计算复杂度为[math]O(N^3)[/math]，因而比<math>EI</math>的计算复杂度高。而且，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]不能显式地分解为确定度和简并度两个分量。

</math>确定<ref name="Zhangjiang">Zhang, Jiang, Ruyi Tao, and Bing Yuan. "Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence." arXiv preprint arXiv:2402.15054 (2024).</ref>。

</math>确定<ref name="Zhangjiang">Zhang, Jiang, Ruyi Tao, and Bing Yuan. "Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence." arXiv preprint arXiv:2402.15054 (2024).</ref>。

===决定性和简并性===

===确定性和简并性===

通过调整参数<math>

通过调整参数<math>

\alpha\in(0,2)

\alpha\in(0,2)