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[math]M[/math]的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率。比如当[math]x_t[/math]等于第一个状态的时候，M的第一行展示了[math]x_{t+1}[/math]状态的概率。
[math]M[/math]的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率。比如当[math]x_t[/math]等于第一个状态的时候，M的第一行展示了[math]x_{t+1}[/math]状态的概率。
那对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：
那对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：
[math]
[math]
P(X_{t+1} | X_{t}) = \sum^r_{k=1} f_k(X_t) g_k(X_{t+1})
P(X_{t+1} | X_{t}) = \sum^r_{k=1} f_k(X_t) g_k(X_{t+1})
[/math]
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而我们能定义r × r的markov kernel [math]C = \{Cij = \sum_{p=1}^k f_j(k)g_i(k)\}[/math]
而我们能定义r × r的markov kernel [math]C = \{Cij = \sum_{p=1}^k f_j(k)g_i(k)\}[/math]
而且[math]$f_1, ... , f_r$[/math] 为 left Markov features，[math]\{g1, . . . , gr\}[/math] 为 right Markov features.
而且[math]f_1, ... , f_r[/math] 为 left Markov features，[math]\{g1, . . . , gr\}[/math] 为 right Markov features.
这个定义可以想象成可压缩的程度，也会是下面的hard partitioning的分组的数量。
这个定义可以想象成可压缩的程度，也会是下面的hard partitioning的分组的数量。
Lumpability
Lumpability
[math]
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Pr_{\pi}[f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s f_0 \in A_i]
Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s f_0 \in A_i]
[math]
[math]