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我们这里主要讨论hard partitioning，主要参考的是Anru Zhang和Mengdi Wang的Spectral State Compression of Markov Processes<ref name=":0">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref>。
我们这里主要讨论hard partitioning，主要参考的是Anru Zhang和Mengdi Wang的Spectral State Compression of Markov Processes<ref name=":0">Zhang, Anru, and Mengdi Wang. "Spectral state compression of markov processes." ''IEEE transactions on information theory'' 66.5 (2019): 3202-3231.</ref>。
=Rank=
首先讨论的是一个马尔科夫矩阵的rank秩。
首先讨论的是一个马尔科夫矩阵的rank秩。
这个看起来是不是非常眼熟。其实它就是在做kMeans聚类算法。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。
这个看起来是不是非常眼熟。其实它就是在做kMeans聚类算法。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。
回顾一下Kmeans算法把n个点聚成r类的损失函数,其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>\j</math>类点的中心点：
<math>J(c^1, ... , c^n, \mu_1, ... , \mu_r) = \sum_{i=1}^n || x_i - \mu_{c^i} ||^2 </math>
<math>J(c^1, ... , c^n, \mu_1, ... , \mu_r) = \sum_{i=1}^n || x_i - \mu_{c^i} ||^2 </math>
所以，我们就可以通过上述算法或者kMeans来获取最优partition，然后根据这个partition来判断马尔科夫矩阵的lumpability。（注：文章中并没有提到可以用KMeans来实现这个算法，但笔者认为它们是等价的）
=基于因果涌现的粗粒化=
==有效信息==
因果涌现相关详情请参照[[因果涌现]]词条。
==Dynamical Reversibility 动力学可逆性==
因果涌现相关详情请参照[[因果涌现]]词条。