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我们先简单回顾一下马尔科夫矩阵是什么。它是一种square matrix，行列数一样，且满足每一行和为1的条件。
我们先简单回顾一下马尔科夫矩阵是什么。它是一种square matrix，行列数一样，且满足每一行和为1的条件。
而马尔科夫链指的是一个n维的状态的序列<math>\{x_t\ = 1, ..., n\}_{t}</math>，每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵<math>M</math>决定，即<math>x_{t+1} = M x_t</math>.
而马尔科夫链指的是一个n维的状态的序列<math>\{x_t\ = 1, ..., n\}_{t}</math>，每一步的状态转换都有马尔科夫矩阵<math>P</math>决定，即<math>x_{t+1} = P x_t</math>.
<math>M</math>的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率。比如当<math>x_t</math>等于第一个状态的时候，M的第一行展示了<math>x_{t+1}</math>状态的概率。
<math>P</math>的每一行对应的每个状态转移到其他状态的概率。比如当<math>x_t</math>等于第一个状态的时候，<math>P</math>的第一行展示了<math>x_{t+1}</math>状态的概率。
那对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：
那对马尔科夫链做粗粒化做粗粒化的意义是什么呢？我们看到文献中着重强调这两点：
作者提出了判断一个马尔科夫链对给定partition <math>A=\{A1, A2, ... ,Ar\}</math>是否lumpable的充分必要条件为
作者提出了判断一个马尔科夫链对给定partition <math>A=\{A1, A2, ... ,Ar\}</math>是否lumpable的充分必要条件为：
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
也就是说<math>p_{k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{k m} = p_{A_i A_j} = p_{k A_j}, k \in A_i</math>
也就是说<math>p_{k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{k m} = p_{A_i A_j} = p_{k A_j}, k \in A_i</math>
直观上来说，当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几种partition的时候，该矩阵就会lumpable，如图一中的<math>\bar{P}</math>所示。
直观上来说，当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几种partition的时候，该矩阵就会lumpable，如图一中的<math>\bar{P}</math>所示。
这个看起来非常眼熟，其实它就是在做kMeans聚类算法。让<math>v_s</math>和组里的<math>V[i:r]</math>距离最小的方法，就是让<math>v_s</math>成为<math>V[i:r]</math>这若干个点的中心。
回顾一下Kmeans算法把n个点聚成r类的损失函数,其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>\j</math>类点的中心点：
回顾一下Kmeans算法把n个点聚成r类的损失函数,其中第<math>i</math>个点被归到第<math>c^i</math>类，而<math>\mu_j</math>为第<math>\j</math>类点的中心点：
=基于因果涌现的粗粒化=
=因果涌现=
====有效信息====
有效信息相关详情请参照[[因果涌现]]词条。
====Dynamical Reversibility 动力学可逆性====
动力学可逆性相关详情请参照[[因果涌现]]词条。
=因果态=
因果态相关详情请参照[[因果态]]词条。
=不同粗粒化方法之间的异同=
==Dynamical Reversibility 动力学可逆性==
====动力学可逆性 v.s. Lumpability ====
在lumpability的图1中我们提到了lumpable的马尔科夫矩阵可以被重新排列成几个block，这种lumpable的矩阵的动力学可逆性也会很高，在这种情况下动力学可逆性和 Lumpability是一致的。
在没有明显block结构的情况下，我们可以使用上述的SVD+kMeans方式找到最优的lumpability partition并决定它的lumpability。我们在一个动力学可逆性比较高（有明显的因果涌现）的国际贸易网的例子上尝试了一下，却发现该网络上的最优lumpability partition宏观结果的动力学可逆性并不高。这现象说明：
#Lumpability最优的partition不等于可逆性最优的partition。