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第335行： − + − 如图6（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图6(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图4(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>+
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因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma
因此，我们得出结论，EI和<math>\Gamma
</math>在各种TPM上高度相关。
</math>在各种TPM上高度相关。
[[文件:截屏2024-08-11 18.32.26.png|居中|缩略图|773x773px|图2|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-11 18.32.26.png|缩略图|804x804px|图2|替代=|无]]
==不同==
==不同==
==布尔网络==
==布尔网络==
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
[[文件:截屏2024-08-27 14.58.17.png|居中|缩略图|710x710像素|图3.]]
[[文件:截屏2024-08-27 14.58.17.png|缩略图|740x740px|图3.|替代=|无]]
图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=2.23
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
[[文件:截屏2024-08-31 20.54.36.png|替代=|居中|缩略图|556x556像素|图4]]
[[文件:截屏2024-08-31 20.54.36.png|替代=|缩略图|702x702px|图4|无]]
==复杂网络==
==复杂网络==
[[文件:截屏2024-08-31 21.01.321.png|居中|缩略图|818x818像素|图5]]
[[文件:截屏2024-08-31 21.01.3211.png|替代=|无|缩略图|931x931像素|图5]]
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图5(j-l)）。图5（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图5(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图5(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图5(a-c)）。图5（a-c）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图5(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图5(b)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
</math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
==元胞自动机==
==元胞自动机==
[[文件:截屏2024-08-30 10.05.111.png|居中|缩略图|817x817像素|图6]]
[[文件:截屏2024-08-30 10.05.1111.png|替代=|无|缩略图|935x935像素|图6]]
如图6（a-c）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图6(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图4(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
\Delta\Gamma
</math>）。
</math>）。