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\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
=基于SVD分解的新粗粒化策略=
=基于SVD分解的新粗粒化策略=
虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊因果涌现，但需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与 EI 得出的结果进行比较。因此，该理论提供了一种基于奇异值分解的粗粒度方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将 P 中的行向量 <math>
虽然无需粗粒化也能定义和量化清晰或模糊因果涌现，但需要对原始系统进行更简单的粗粒化描述，以便与 EI 得出的结果进行比较。因此，该理论提供了一种基于奇异值分解的粗粒度方法，以获得宏观层面的简化TPM。其基本思想是将 P 中的行向量 <math>
\gamma
\gamma
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。
=测试量化因果涌现的效果=
==布尔网络==
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
[[文件:截屏2024-08-27 14.58.17.png|缩略图|740x740px|图2.|替代=|无]]
图2(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图2(d)中的TPM直接源自图2(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图2(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图2(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。
图2(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图2(h) 所示。我们选择<math>
\epsilon=0.2
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
\Delta\Gamma(0.2)=0.69
</math>。<math>
\epsilon
</math>值是根据图2(h)中的奇异值频谱选择的，在图2(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。图3（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name="Hoel2013" />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图3(c)所示。奇异值频谱如图3（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=2.23
</math>。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。
[[文件:截屏2024-08-31 20.54.36.png|替代=|缩略图|702x702px|图3|无]]
==复杂网络==
[[文件:截屏2024-08-31 21.01.3211.png|替代=|无|缩略图|931x931像素|图4]]
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图4(a-c)）。图4（a-c）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图4(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图4(b)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
\Delta\Gamma(0.3)=0.56
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
==元胞自动机==
[[文件:截屏2024-08-30 10.05.1111.png|替代=|无|缩略图|935x935像素|图5]]
如图5（a-c）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图5(b) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图3(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
</math>）。
=参考文献=
=参考文献=
<references />
<references />