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[[文件:马尔科夫链的粗粒化.png|缩略图|图1：粗粒化定义]]
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对状态空间<math>S</math>和转移函数<math>T(t):S->S</math>，我们需要一个投影矩阵<math>R:S->S'</math>，和一个新的转移函数<math>T'(t):S'->S'</math>，而且<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义。
对状态空间<math>S</math>和转移函数<math>T(t):S \rightarrow S</math>，我们需要一个投影矩阵<math>R:S \rightarrow S'</math>，和一个新的转移函数<math>T'(t):S' \rightarrow S'</math>，而且<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义。
所以，我们能看出<math>R</math>是一个对状态空间<math>S</math>的降维函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>T</math>降维成<math>T'</math>。如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
所以，我们能看出<math>R</math>是一个对状态空间<math>S</math>的降维函数（得到<math>S'</math>）。而且，我们还需要把<math>T</math>降维成<math>T'</math>。如果<math>T:s_{t+1} = s_{t} P</math>，<math>P</math>为离散马尔科夫矩阵的话，这个针对马尔科夫矩阵的降维可以表示为
#先得到下一步的<math>s_{t+1} = s_{t} P</math>，再做粗粒化得到<math>s_{t+1}' = R(s_{t+1})</math>
#先得到下一步的<math>s_{t+1} = s_{t} P</math>，再做粗粒化得到<math>s_{t+1}' = R(s_{t+1})</math>
# 先做粗粒化得到<math>s_{t}' = R(s_{t})</math>，再得到下一步的<math>s_{t+1}' = s_{t}' P</math>
# 先做粗粒化得到<math>s_{t}' = R(s_{t})</math>，再得到下一步的<math>s_{t+1}' = s_{t}' P'</math>
而交换律则要求从这两条路径得到的结果应该是一样的，即<math> R(s_{t} P) = R(s_{t}) P</math>。
而交换律则要求从这两条路径得到的结果应该是一样的，即<math> R(s_{t} P) = R(s_{t}) P'</math>。