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'''给定一个state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>'''，我们能够用下列公式描述一个粗粒化后的马尔科夫链(lumped process)，且这个转移概率对任何初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都是一样的：
'''给定一个state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>'''，我们能够用下列公式描述一个粗粒化后的马尔科夫链(lumped process)，且这个转移概率对任何初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都是一样的：
<math>
<math>
Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i]
\begin{aligned}
&Pr_{\pi}[f_0 \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s, f_1 \in A_j, f_0 \in A_i]
\end{aligned}
</math>
</math>
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
也就是说<math>p_{s_k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k s_m} = p_{A_i A_j}, k \in A_i</math>。
也就是说
{{NumBlk|:|
<math>
\begin{aligned}
p_{s_k A_j} = \sum_{s_m \in A_j} p_{s_k s_m} = p_{A_i A_j}, k \in A_i
\end{aligned}
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。
这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。
===Lumpability和粗粒化===
我们在粗粒化的部分提到了，马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。
我们在粗粒化的部分提到了，马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。
但是，其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
但是，其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
所以，整个链条应该是这样的：Lumpable的粗粒化方案 <math>\subsetneqq</math> Hard Partitioning <math>\in</math> 良定义的粗粒化方案。
所以，整个链条应该是这样的：Lumpable的粗粒化方案 <math>\subset</math> Hard Partitioning的粗粒化方案 <math>\subset</math> 良定义的粗粒化方案。
===基于Lumpability的粗粒化方法===
[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图2：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]
[[文件:Lump fig1.png|缩略图|398x398像素|图2：Zhang<ref name=":0" /> 文章中的示意图。图中左面四个矩阵都是lumpable马尔科夫矩阵，而右面的P_2是一个噪声矩阵，(P_1)^T P_2 = 0|替代=]]
由上面的lumpability公式[[EquationRef|3]]中我们能获得一个直观上的说法：当马尔科夫矩阵存在block结构，或者状态明显可被分成几类的时候，根据这样的partition，该矩阵就会lumpable，如图2中的<math>\bar{P}</math>所示，把相同的状态（行向量）分成一类的partition显然lumpable。
但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图2中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。
但是，有时候有些lumpable的矩阵的状态排序被打乱了（如图一中的<math>P_1</math>），或者矩阵包含了如<math>P_2</math>的噪声（如图2中的<math>P</math>，<math>P = P_1 + P_2</math>，<math>P_1^TP_2 = 0</math>）。