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→宏观EI的变分下界
式{{EquationNote|1}}中，数学形式是一个泛函问题，无法直接进行优化，作者将通过计算并优化变分下界来解决泛函优化问题。同时，在NIS+框架中，作者使用了编码器将p维的输入数据进行粗粒化，得到q维的宏观数据，下面编码器的通用逼近定理将证明编码器的可以近似任意复杂的粗粒化函数。
式{{EquationNote|1}}中，数学形式是一个泛函问题，无法直接进行优化，作者将通过计算并优化变分下界来解决泛函优化问题。同时，在NIS+框架中，作者使用了编码器将p维的输入数据进行粗粒化，得到q维的宏观数据，下面编码器的通用逼近定理将证明编码器的可以近似任意复杂的粗粒化函数。
此部分主要包括两个关键定理的证明：一、宏观EI的变分下界：对于给定的 q 值，由式{{EquationNote|3}}定义的无约束目标函数作为式{{EquationNote|1}}中定义的约束目标函数的下界。二、编码器的通用逼近定理：对于任何连续函数<math>
f
</math>，定义在<math>
K\times \mathcal{R}^p
</math>，<math>
K\in \mathcal{R}^p
</math>是一个紧集，<math>
p>q\in \mathcal{Z^+}
</math>，存在整数<math>
s
</math>和扩展堆编码器<math>
\phi_{p,s,q}: \mathcal{R}^p\rightarrow \mathcal{R}^q
</math>（有<math>
s
</math>隐藏层）和扩展操作<math>
\eta_{p,s}
</math>，使得：<math>
\phi_{p,s,q}\simeq f
</math>，这表明编码器可以近似(模拟)任何定义在<math>
\mathcal{R}^p\times \mathcal{R}^q
\mathcal{R}^p\times \mathcal{R}^q
</math>粗粒化函数。
</math>粗粒化函数。