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1) 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在静态分布）：
1) 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在静态分布）：
<blockquote>
<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
</blockquote>
其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
4) 通过 K-means 算法将\tilde{P}中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:
4) 通过 K-means 算法将\tilde{P}中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:
<blockquote>
<math>
<math>
\Phi_{ij} =\begin{cases}
\Phi_{ij} =\begin{cases}
0, & \text{其他情况}
0, & \text{其他情况}
\end{cases}</math>
\end{cases}</math>
</blockquote>
对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。
对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。
为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为静态流矩阵，如下所示：
为了说明如何获得简化的TPM，首先定义一个矩阵，称为静态流矩阵，如下所示：
<blockquote>
<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],
<math>F_{ij} \equiv \mu_i \cdot P_{ij}, \, \forall i,j \in [1, N],
</math>
</math>
</blockquote>
其中，<math>\mu</math>是P的静态分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。
其中，<math>\mu</math>是P的静态分布，满足<math>P\cdot\mu=\mu</math>。
其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出缩减流矩阵：
其次，我们将根据 <math>\Phi</math>和<math>F</math>推导出缩减流矩阵：
<blockquote>
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
<math>F' = \Phi^T \cdot F \cdot \Phi,
</math>
</math>
</blockquote>
其中，F'是还原静态流量矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：
其中，F'是还原静态流量矩阵。最后，粗粒化后的TPM可直接通过以下公式得出：
<blockquote>
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
<math>P'_i = F'_i / \sum_{j=1}^{N} (F'_i)_j, \, \forall i \in [1, N].
</math>
</math>
</blockquote>
=测试量化因果涌现的效果=
=测试量化因果涌现的效果=
==布尔网络==
==布尔网络==