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计算力学 (查看源代码)

2024年9月20日 (五) 07:47的版本

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第80行：第80行：

因果态是一种特殊的划分方法，它的划分函数记作<math>\epsilon</math>，公式为<math> \epsilon{:}\overleftarrow{S}\mapsto2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>，其中<math> 2^{\overset{\leftarrow}{S}}</math>是<math> \overleftarrow{S}</math>的幂集。根据因果态的定义，则存在如下关系：<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime})，\mathrm{for~all~}\overrightarrow{s}\in\overrightarrow{S},\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}\in\stackrel{\leftarrow}{S}\} </math>，其中<math>\mathcal{S} </math>为因果态的集合，<math>\stackrel{\leftarrow}{s} </math>为历史序列的随机变量，<math>\mathcal{S} </math>是<math>\mathcal{R} </math>的一种最优形式，因为<math>\mathcal{S} </math>的如下性质。

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~~性质（1）最大预测性————因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强：对于所有有效态~~<math>\mathcal{R} </math>和正整数<math>L </math>，都有<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>~~的条件熵。它的证明过程如下：~~

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性质1（因果态具有最大预测性）：对于所有有效态<math>\mathcal{R} </math>和正整数<math>L </math>，都有<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>，<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>为<math>L </math>个长度的未来序列集合，<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}] </math>和<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>是<math>\stackrel{\rightarrow}{S}^L </math>的条件熵。可以理解为因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的预测能力最强，证明过程如下：

<math>\epsilon(\stackrel{\leftarrow}{s})\equiv\{\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}|\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s})=\mathrm{P}(\stackrel{\rightarrow}{S}=\stackrel{\rightarrow}{s}\mid\stackrel{\leftarrow}{S}=\stackrel{\leftarrow}{s}^{\prime}) </math>

第92行：第92行：

<math>H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{R}]\geq H[\stackrel{\rightarrow}{S}^L|\mathcal{S}] </math>

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性质（2）最小复杂度————在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>~~为满足性质（1）中不等式等号成立的有效态，则对于所有的~~<math>\hat{\mathcal{R}} </math>，都有<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>。

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性质2（因果态具有最小统计复杂度）：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>为满足性质1中不等式等号成立的有效态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>，都有<math>C_\mu(\hat{\mathcal{R}})\geq C_\mu(\mathcal{S}) </math>。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合<math>\mathcal{S} </math>在有效态集合<math>\mathcal{R} </math>的所有类型中，它的统计复杂度最小。

结合本条性质，公式<math>K(s^L )≈C_μ (s^L )+h_μ L </math>中求<math>C_μ (s^L ) </math>就是求<math>s^L </math>对应的因果态的统计复杂度，也就是说想要计算<math>C_μ (s^L ) </math>需要先找到<math>s^L </math>对应的因果态。上式也可以理解为：序列<math>s^L </math>的总信息量≈被归纳的因果态信息量+放弃归纳的随机信息量

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性质（3）最小随机性————在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>~~为满足性质（1）中不等式等号成立的有效态，则对于所有的~~<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>~~分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。~~

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性质3（因果态具有最小随机性）：设<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>为满足性质1中不等式等号成立的有效态，则对于所有的<math>\hat{\mathcal{R}} </math>和<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>，都有<math>H[\hat{\mathcal{R}}^{\prime}|\hat{\mathcal{R}}]\geq H[\mathcal{S}^{\prime}|\mathcal{S}] </math>，其中<math>\hat{\mathcal{R}}^{\prime} </math>和<math>\mathcal{S}^{\prime} </math>分别是该过程的下一时刻有效态和下一时刻因果态。可以理解为在相同预测能力的前提下，因果态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{S} }[/math]在有效态集合[math]\displaystyle{ \mathcal{R} }[/math]的所有类型中，它的随机性最小。

用[[互信息]]的角度去理解的话，上式等价于<math>I(\mathcal{S}^{\prime};\mathcal{S})\geq I(\hat{\mathcal{R}}^{\prime};\hat{\mathcal{R}}) </math>，可以理解为任意有效态对它自己下一时刻的互信息中，其中因果态的互信息最大，若不考虑[[Do演算|Do干预]]，因果态和[[因果涌现|因果涌现理论]]中最大化[[有效信息]]所得到的宏观态意义相同。

刘易明

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