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|{{EquationRef|3}}}}这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finiteains<ref name=":32">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。书中的定义是这样的:'''给定一个state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''',我们能够用下列公式描述一个粗粒化后的马尔科夫链(lumped process),且这个转移概率对任何初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都是一样的:
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|{{EquationRef|3}}}}马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做,也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做,也可以看作为:先对状态空间做,再对转移矩阵和概率空间做;即先对状态做分组,然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。我们也提到过对状态空间做粗粒化有Hard Partitioning和Soft Partitioning两种。Soft Partitioning可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态,而Hard Partitioning则是更严格的,把若干个微观状态分成一个组。而Lumpability就是一个指标,用来评价‘对于某一种Hard Partitioning的微观状态分组分案,是否对微观状态转移矩阵lumpable’。不管状态空间按照哪一个Hard Partitioning方案做分类,它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案(,并满足上面提到的粗粒化的两个规则。但是,其中的某些分组方案lumpable,也有某些分组方案non-lumpable。
 
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马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做,也要对转移矩阵和概率空间做。这三个部分可以同时做,也可以看作为:先对状态空间做,再对转移矩阵和概率空间做;即先对状态做分组,然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。我们也提到过对状态空间做粗粒化有Hard Partitioning和Soft Partitioning两种。Soft Partitioning可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态,而Hard Partitioning则是更严格的,把若干个微观状态分成一个组。而Lumpability就是一个指标,用来评价‘对于某一种Hard Partitioning的微观状态分组分案,是否对微观状态转移矩阵lumpable’。不管状态空间按照哪一个Hard Partitioning方案做分类,它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案(,并满足上面提到的粗粒化的两个规则。但是,其中的某些分组方案lumpable,也有某些分组方案non-lumpable。
      
在看待一个马尔科夫转移矩阵时,我们可以把它想象成一个网络的邻接矩阵。节点为状态,连边为状态转移概率,而粗粒化则是对这个网络做降维。同时离散状态的马尔科夫链,状态空间的大小等于马尔科夫链的大小。粗粒化可以看作对状态空间做分组并投影到新的状态空间。从概率论出发,把状态的发生看作事件,通过计算事件发生的频率来构建概率空间。在降维表达事件的同时也构建了新的概率空间。这三种出发点看似互有联系,但是具体关心的东西不同。第一种关注状态之间的连边拓扑结构,第二种关注不同状态的历史分布和相似性,第三种关注如何降维表达整个系统中的事件概率分布。投影降维、节点分类都是常见的简化方法。
 
在看待一个马尔科夫转移矩阵时,我们可以把它想象成一个网络的邻接矩阵。节点为状态,连边为状态转移概率,而粗粒化则是对这个网络做降维。同时离散状态的马尔科夫链,状态空间的大小等于马尔科夫链的大小。粗粒化可以看作对状态空间做分组并投影到新的状态空间。从概率论出发,把状态的发生看作事件,通过计算事件发生的频率来构建概率空间。在降维表达事件的同时也构建了新的概率空间。这三种出发点看似互有联系,但是具体关心的东西不同。第一种关注状态之间的连边拓扑结构,第二种关注不同状态的历史分布和相似性,第三种关注如何降维表达整个系统中的事件概率分布。投影降维、节点分类都是常见的简化方法。
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