具体来说,一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math> 的分解,其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵,<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵,对角线上的元素是非负实数,<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵,<math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵,那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵;在这种情况下,SVD 通常表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。 | 具体来说,一个 <math>m \times n</math> 复矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的奇异值分解是一种形如 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V^*}</math> 的分解,其中 <math>\mathbf{U}</math> 是 <math>m \times m</math> 复酉矩阵,<math>\mathbf{\Sigma}</math> 是 <math>m \times n</math> 矩形对角矩阵,对角线上的元素是非负实数,<math>\mathbf{V}</math> 是 <math>n \times n</math> 复酉矩阵,<math>\mathbf{V}^*</math> 是 <math>\mathbf{V}</math> 的共轭转置。这种分解对任何复矩阵都存在。如果 <math>\mathbf{M}</math> 是实矩阵,那么 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 可以保证是实正交矩阵;在这种情况下,SVD 通常表示为 <math>\mathbf{M} = \mathbf{U\Sigma V}^{\mathrm{T}}</math>。 |