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下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。

下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。

下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值(图(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>

下图(a)-(i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于清晰因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图(d)中的TPM直接源自图(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图(e)和(h)所示。(d)中的例子只有4个非零奇异值，奇异频谱如图(e)所示，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>

\Delta\Gamma=0.75

\Delta\Gamma=0.75

</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。

</math>。 因果涌现的判断与参考文献<ref name="Hoel2013" />相同。(f) 和 (i) 分别是对 (d) 和 (g) 中的原始 TPM 应用粗粒化方法后缩减的TPM和投影矩阵。

图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h) 所示。我们选择<math>

图(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图(h)所示。我们选择<math>

\epsilon=0.2

\epsilon=0.2

</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>

</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>