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→Lumpability, HOM, 和Consistency
==Lumpability, HOM, 和Consistency==
==Lumpable Partition粗粒化的一致性Consistency==
这一小节里我们讨论一下，对一个马尔科夫链的'''lumpable的partition'''，HON（Higher-order Network，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]），和Consistency之间的关联。
这一小节里我们讨论一下，对一个马尔科夫链的'''lumpable的partition'''，HON（Higher-order Network，详情请参考[[复杂网络中的因果涌现]]），和Consistency之间的关联。
Higher-order Network，是由Jian Xu<ref>J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点的聚类方案，得出一个和微观马尔科夫链的转移矩阵consistent的宏观马尔科夫链的转移矩阵。
Higher-order Network，是由Jian Xu<ref>J. Xu, T. L. Wickramarathne, and N. V. Chawla， 'Representing higher-order dependencies in networks,' Science Advances, vol. 2, Article ID el600028, 2016.a</ref>提出，根据给定的微观马尔科夫链和节点的聚类方案，得出一个和微观转移矩阵保持一致的宏观转移矩阵的方法。
我们这里使用一个简单的lumpable partition例子，来显示lumpability的粗粒化跟HON是对应的。
我们这里使用一个简单的lumpable partition例子，来显示lumpability的粗粒化跟HON是对应的。
</math>
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对于这个转移概率矩阵，<math>{1, 2, {34}, 5, 6}</math>这个partition是lumpable的。
对于这个转移概率矩阵，<math>{1, 2, {34}, 5, 6}</math>的partition是lumpable的。
首先，我们先按照lumpability的定义，算对应的宏观转移概率：
首先，我们先按照lumpability的定义，算对应的宏观转移概率：
[[文件:网络节点边权合并示意图.png|缩略图|图3：HON计算规则]]
[[文件:网络节点边权合并示意图.png|缩略图|图3：HON计算规则]]
然后，我们来简单介绍一下的构建宏观HON转移概率矩阵的计算方法。
在图2中，我们看到3和4为待合并节点<math>S</math>。
在图2中，我们看到3和4为待合并节点<math>S</math>。
待合并节点<math>S</math>的出流的计算方式都不一样，如图3所示。
待合并节点<math>S</math>的出流的计算方式都不一样，如图3所示。
'''但是'''，我们可以注意到，这三种计算方式都是待合并节点<math>S</math>中的各节点的出流的<math>W_i^{out}</math>加权，而我们知道，lumpability的特性决定了，群组里的各节点的出流<math>W_i^{out}</math>都是一样的。也就是说，任意的加权方法对于lumpable partition来说都能得出相同的结果。
'''但是'''，我们可以注意到，这三种计算方式都是待合并节点<math>S</math>中的各节点的出流的<math>W_i^{out}</math>加权，而我们知道，lumpability的特性决定了，群组里的各节点到其他群组的出流<math>W_i^{out}</math>都是一样的，对相同的<math>W_i^{out}</math>做任意加权平均的结果都等于<math>W_i^{out}</math>。也就是说，任意的加权方法对于lumpable partition来说都能得出相同的结果。
由此，我们总结，lumpable partition的聚合方式和HON，无论入流还是出流都完全一致。
由此，我们总结，lumpable partition的聚合方式和HON，无论入流还是出流都完全一致。
实验发现，对不同节点规模以及参数下的微观网络，使用HON粗粒化后的宏观网络的不一致性随着迭代步数的增加都会收敛到0。这说明，HON构建的宏观网络和微观网络是保持一致的。回到上面的推断，我们就能得出，根据lumpable partition而做的粗粒化，构建的和宏观网络和微观网络也是保持一致的。
实验发现，对不同节点规模以及参数下的微观网络，使用HON粗粒化后的宏观网络的不一致性随着迭代步数的增加都会收敛到0。这说明，HON构建的宏观网络和微观网络是保持一致的。回到上面的推断，我们就能得出，根据lumpable partition而做的粗粒化，构建的和宏观网络和微观网络也是保持一致的。
==基于Lumpability的粗粒化方法（未给定lumpable partition的情况）==
==基于Lumpability的粗粒化方法（未给定lumpable partition的情况）==