| 第136行： |
第136行： |
| | \gamma_{\alpha} | | \gamma_{\alpha} |
| | </math>总是小于1。 | | </math>总是小于1。 |
| − |
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| − |
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| − |
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| − | '''定理3：'''对于任意 TPM P 和 <math>
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| − | \alpha\in(0,2)
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| − | </math>，<math>
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| − | \Gamma_{\alpha}
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| − | </math>的对数和EI都有相同的最小值0和一个共同的极小值点（当<math>
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| − | P=\frac{1}{N} I_{N\times{N}}
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| − | </math>时取到），其中<math>I</math>是单位矩阵。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
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| − |
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| − | 因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
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| − | \log{\Gamma_{\alpha}}
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| − | </math>和EI可以达到最大值<math>
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| − | \log{N}
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| − | </math>。当<math>
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| − | P_{i}=\frac{I}{N},\forall{i}\in[1,N]
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| − | </math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math>
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| − | \frac{I}{N}
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| − | </math>并不是EI的唯一最小点，对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0。其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。
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| − | '''定理4：'''对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
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| − | \log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
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| − | 因此，有如下不等式：
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| − | <blockquote>
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| − | <math>
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| − | \begin{aligned}
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| − | \log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}
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| − | \end{aligned}
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| − | </math></blockquote>
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| − | 实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>具有近似线性关系，因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
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| − | <blockquote>
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| − | <math>\begin{aligned}
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| − | EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
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| − | \end{aligned}
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| − | </math>
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| − | </blockquote>
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| | === 具体例子 === | | === 具体例子 === |