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大家理解的线代里的rank秩的定义是看矩阵中的线性无关的行向量的数量，但是这里对秩的理解是从一种类似于信道的概念。
大家理解的线代里的rank秩的定义是看矩阵中的线性无关的行向量的数量，但是这里对秩的理解是从一种类似于信道的概念。
秩的定义为我们能找到的一组概率密度函数 <math>f_1, ... , f_r, g_1, ... , g_r</math>，使得r在下列公式里最小：
秩的定义为我们能找到的一组概率密度函数 <math>f_1,\ ...\ ,\ f_r,\ g_1,\ ...\ ,\ g_r</math>，使得r在下列公式里最小：
<math>
<math>
=Lumpability=
=Lumpability=
Lumpability是一种描述状态分类的衡量，笔者暂时还没找到一个正式的中文翻译。
这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finite Markov Chains<ref name=":3">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。书中的定义是这样的：
这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的Finite Markov Chains<ref name=":3">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。
首先定义<math>f_t</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
给定一个state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间，<math>S \rightarrow A</math>是一个离散的多对一的映射关系(hard partition)。
对于一个给定的state partition <math>A</math>，当下列公式对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，<math>A</math>是一个lumpable partition：
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
&Pr_{\pi}[f_0 \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[f_0 \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[f_1 \in A_j | f_0 \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[f_n \in A_t |f_{n-1} \in A_s, f_1 \in A_j, f_0 \in A_i]
&Pr_{\pi}[f_t \in A_m |f_{t-1} \in A_k, ... , f_1 \in A_j, f_0 \in A_i] = Pr_{\pi}[f_t \in A_m |f_{t-1} \in A_k]
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
|{{EquationRef|3}}}}
这三个式子隐含表达了图(1)提到的两个粗粒化路径：(1) 微观状态->聚类->宏观动力学->宏观状态 和 (2) 微观状态->微观动力学->聚类->宏观状态
首先，式子表达了<math>t</math>时刻的微观状态属于哪个宏观状态的（后验）概率，整体可以看作是宏观动力学的转移概率<math>Pr_{\pi}[A_m | A_k]</math>（路径1）。
同时，整个表达式都是由路径2的元素组成的，其中<math>f_0,\ f_1,\ ...\ ,\ f_t</math>表达的是微观动力学，<math>f_t \in A_m</math>表达的是微观到宏观的聚类过程。
强调考虑所有的初始状态<math>\pi</math>，是为了让这两个路径保持一致，也就是满足交换律。
它强调了，无论从哪一步初始状态开始，无论是走宏观动力学(路径1)还是微观动力学(路径2)，它们在任意<math>t</math>时刻的宏观状态都是一样的。
作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：
作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。
也就是说，设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(f_t = s_m | f_{t-1} = s_k)</math>，<math>p_{A_i \rightarrow s_m} = p(f_t = s_m | f_{t-1} \in A_i)</math>
也就是说，设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(f_t = s_m | f_{t-1} = s_k)</math>，<math>p_{A_i \rightarrow s_m} = p(f_t = s_m | f_{t-1} \in A_i)</math>
|{{EquationRef|4}}}}
|{{EquationRef|4}}}}
这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。
这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率 = 群组<math>i</math>中所有状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。
所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。
所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。
我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们<math>\{s_1, s_2, s_3\}</math>分在一组<math>A_1</math>，并把状态<math>s_4</math>分在另外一组<math>A_2</math>，看起来像是一个合理的正例。
我们可以看到，123行都是一样的，所以把他们<math>\{s_1, s_2, s_3\}</math>分在一组<math>A_1</math>，并把状态<math>s_4</math>分在另外一组<math>A_2</math>，看起来像是一个合理的正例。
接下来我们来计算一下。
设<math>p_{s_1 \rightarrow s_2} = p(f_t = s_2 | f_{t-1} = s_1)</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p(f_t \in A_2 | f_{t-1} = s_1)</math>
第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>
第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>