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这三个公式实际上描述了以下内容：
系统在时间<math>t</math>处于某个特定微观状态<math>s_i</math>，并且这个状态属于某个宏观状态<math>A_k</math>的概率；
假设在时间<math>t</math>系统处于微观状态<math>s_i</math>，并且这个状态属于宏观状态 <math>A_k</math>，那么在时间<math>t+1</math>系统转移到另一个微观状态<math>s_j</math>并且这个状态属于另一个宏观状态<math>A_m</math>的概率；
系统具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
当我们说“考虑所有的初始状态<math>\pi</math>”，我们的意思是：
# 不管我们从哪个微观状态<math>s_i</math>开始，<math>s_i</math>属于宏观状态<math>A_k</math> 的概率应该是相同的。
# 不管我们从哪个微观状态开始，如果当前处于宏观状态<math>A_k</math>，那么下一步转移到宏观状态<math>A_m</math>的概率也应该是相同的。
这三个公式暗示了两种不同的从微观状态到宏观状态的路径：(1) 微观状态->聚类->宏观动力学->宏观状态 和 (2) 微观状态->微观动力学->聚类->宏观状态
公式首先描述了系统的宏观状态的转移概率<math>Pr_{\pi}[A_m | A_k]</math>，整体可以看作是宏观动力学（路径1）。
同时，整个表达式也包含了路径2的元素，其中<math>\pi</math>为微观初始状态，<math>\{f_0,\ f_1,\ ...\ ,\ f_t\}</math>为微观动力学（微观动力学的演化过程在这里被省略了），而<math>f_t \in A_m</math>代表了从微观状态到宏观状态的聚类过程。
强调考虑所有初始状态<math>\pi</math>的目的是确保这两种路径在任何时间点给出的微观状态和宏观状态之间的关系是一致的。
无论我们从哪个微观状态开始，无论是走宏观动力学(路径1)还是微观动力学(路径2)，系统在任何时间点的微观状态和宏观状态的对应关系都是相同的，也会到达相同的宏观状态，也就是满足了交换律。
所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。
所以，lumpability并不是一个马尔科夫链的特质，而是对马尔科夫链的某个state partition的特质。我们不能直接说某个马尔科夫链是lumpable或non-lumpable，但是我们可以说，对于某个马尔科夫链的某几个状态partition是lumpable或non-lumpable。
==Lumpability正例和反例==
==Lumpability正例和反例==
对于一个马尔科夫链，有些分组partition是lumpable，有些分组是non-lumpable。这里用一个简单的例子提供正例和反例。
我们用到的是这样一个转移矩阵：
我们用到的是这样一个转移矩阵：
这里我们就能看到，<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} \neq p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>，当同一组的两个状态<math>s_3</math>和<math>s_4</math>对其他组的转移概率不一样的话，如果我们强行按照这样来分组（也没办法强行，因为我们不知道<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = p_{s_3 \rightarrow A_1}</math>还是<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>），假设<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>，我们会发现这样的粗粒化结果违背了Lumpability一开始的定义<ref name=":3" />（公式(3)），即粗粒化后的'''转移概率对所有的初始微观状态<math>\pi</math>都适用'''。因为当<math>\pi = s_4</math>的时候，<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>这个转移概率就是错的，即使<math>\pi \neq s_4</math>，任何初始微观状态<math>\pi</math>都会在某时刻<math>n</math>达到<math>s_4</math>并导致转移概率出错。
这里我们就能看到，<math>p_{s_3 \rightarrow A_1} \neq p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>，当同一组的两个状态<math>s_3</math>和<math>s_4</math>对其他组的转移概率不一样的话，如果我们强行按照这样来分组（也没办法强行，因为我们不知道<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = p_{s_3 \rightarrow A_1}</math>还是<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = p_{s_4 \rightarrow A_1}</math>），假设<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>，我们会发现这样的粗粒化结果违背了Lumpability一开始的定义<ref name=":3" />（公式(3)），即粗粒化后的'''转移概率对所有的初始微观状态<math>\pi</math>都适用'''。因为当<math>\pi = s_4</math>的时候，<math>p_{A_2 \rightarrow A_1} = 0.6</math>这个转移概率就是错的，即使<math>\pi \neq s_4</math>，任何初始微观状态<math>\pi</math>都会在某时刻<math>n</math>达到<math>s_4</math>并导致转移概率出错。
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
==Lumpability和粗粒化==
我们在粗粒化的部分提到了，马尔科夫链的粗粒化不仅要对状态空间做，也要对转移矩阵和概率空间做。
这三个部分可以同时做，也可以看作为：先对状态空间做，再对转移矩阵和概率空间做；即先对状态做分组，然后再获取对应的粗粒化后的转移矩阵。
我们也提到过对状态空间做粗粒化有Hard Partitioning和Soft Partitioning两种。Soft Partitioning可以看作把微观状态打散重构成了一些宏观状态，而Hard Partitioning则是更严格的，把若干个微观状态分成一个组。
而Lumpability就是一个指标，用来评价‘对于某一种Hard Partitioning的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵lumpable’。
不管状态空间按照哪一个Hard Partitioning方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案（公式(1)和(2)）<ref name=":1" />，其中有些分组满足交换律，有些则不满足。
其中的某些分组方案lumpable，也有某些分组方案non-lumpable。
所以，整个链条应该是这样的：
[[文件:粗粒化关系图.png|无框]]
所以，一个满足lumpability的良定义的粗粒化方案应该在原来的两个条件下，再多加两个条件：
#粗粒化后的<math>S'</math>和<math>T'</math>要符合马尔科夫链定义；
#满足交换律；
#Hard Partitioning，即存在分组矩阵<math>V_{i, j} = 1\ if\ s_i \in s_j'\ and\ 0\ otherwise</math>；
#<math>V</math>是一个lumpable分组。