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→Lumpability
首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
首先定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>。
给定一个state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间，<math>S \rightarrow A</math>是一个离散的多对一的映射关系(hard partition)，定义<math>A^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的宏观状态。
给定一个state partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>，也可以把其理解为宏观的状态空间，<math>S \rightarrow A</math>是Hard Partition的映射关系，定义<math>A^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的宏观状态。
对于一个给定的state partition <math>A</math>，当下列公式对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，<math>A</math>是一个lumpable partition：
对于一个给定的state partition <math>A</math>，当下列公式对任何微观初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都保持一致时，<math>A</math>是一个lumpable partition：
\begin{aligned}
\begin{aligned}
&Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i] \\
&Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i] = Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k]
&Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... , s^{(1)} \in A_j, s^{(0)} \in A_i] = Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k]
\end{aligned}
\end{aligned}
|{{EquationRef|3}}}}
|{{EquationRef|3}}}}
这两个公式描述了：
系统在时间<math>t</math>处于某个特定微观状态<math>s_i</math>，并且这个状态属于某个宏观状态<math>A_k</math>的概率；
# 系统在时间<math>t</math>的微观状态<math>s_i</math>属于某个宏观状态<math>A_k</math>的概率；
假设在时间<math>t</math>系统处于微观状态<math>s_i</math>，并且这个状态属于宏观状态 <math>A_k</math>，那么在时间<math>t+1</math>系统转移到另一个微观状态<math>s_j</math>并且这个状态属于另一个宏观状态<math>A_m</math>的概率；
# 假设在时间<math>t</math>系统处于微观状态<math>s_i</math>，并且这个状态属于宏观状态 <math>A_k</math>，那么在时间<math>t+1</math>系统处于某个宏观状态<math>A_m</math>的概率；
# 马尔可夫性。
这两个公式暗示了两种不同的从微观状态到宏观状态的路径：(1) 微观状态->聚类->宏观动力学->宏观状态 和 (2) 微观状态->微观动力学->聚类->宏观状态
公式整体可以看作是宏观动力学（路径1），描述了系统的宏观状态的转移概率<math>Pr_{\pi}[A^{(t)} = A_m | A^{(t-1)} = A_k]</math>。
同时，整个表达式也包含了路径2的元素，其中<math>\pi</math>为微观初始状态，<math>\{s^{(0)},\ s^{(1)},\ ...\ ,\ s^{(t)}\}</math>为微观动力学（微观动力学的演化过程在这里被省略了），而<math>s^{(t)} \in A_m</math>代表了从微观状态到宏观状态的聚类过程。
同时，整个表达式也包含了路径2的元素，其中<math>\pi</math>为微观初始状态，<math>\{s^{(0)},\ s^{(1)},\ ...\ ,\ s^{(t)}\}</math>为微观动力学（微观动力学的演化过程在这里被省略了），而<math>s^{(t)} \in A_m</math>代表了从微观状态到宏观状态的聚类过程。
强调考虑所有初始状态<math>\pi</math>的目的是确保这两种路径在任何时间点给出的微观状态和宏观状态之间的关系是一致的。
强调考虑所有初始状态<math>\pi</math>的目的是确保这两种路径在任何时间点给出的微观状态和宏观状态之间的关系是一致的。
作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：
作者提出了判断一个马尔科夫链对'''给定partition <math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' 是否lumpable的充分必要条件为：
设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(f_t = s_m | f_{t-1} = s_k)</math>，<math>p_{A_i \rightarrow s_m} = p(f_t = s_m | f_{t-1} \in A_i)</math>
设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{A_i \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} \in A_i)</math>
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。
对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的。
接下来我们来计算一下。
接下来我们来计算一下。
设<math>p_{s_1 \rightarrow s_2} = p(f_t = s_2 | f_{t-1} = s_1)</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p(f_t \in A_2 | f_{t-1} = s_1)</math>
设<math>p_{s_1 \rightarrow s_2} = p(s^{(t)} = s_2 | s^{(t-1)} = s_1)</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_2} = p(s^{(t)} \in A_2 | s^{(t-1)} = s_1)</math>
第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>
第1组<math>A_1</math>的状态<math>s_1</math>到第1组<math>A_1</math>，<math>p_{s_1 \rightarrow A_1} = p_{A_1 \rightarrow A_1} = \sum_{s_m \in A_1} p_{s_1 \rightarrow s_m} = p_{s_1 \rightarrow s_1} + p_{s_1 \rightarrow s_2} + p_{s_1 \rightarrow s_3} = 0.3 \times 3 = 0.9 </math>