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图2显示了每个条件下质心的平均线性和非线性格兰杰涌现性。结果证实了高格兰杰涌现性与引人注目的群集行为相关，线性和非线性度量均显示，条件<math>H</math>下的格兰杰涌现性显著高于条件<math>L</math>和<math>R</math>。条件<math>H</math>和<math>L</math>下的所有格兰杰涌现性值都是显著的（格兰杰自主性和格兰杰因果关系的<math>P</math>值均小于<math>10^{-5}</math> ，双尾<math>t</math>检验）；而条件<math>R</math>下的结果则不显著。
图2显示了每个条件下质心的平均线性和非线性格兰杰涌现性。结果证实了高格兰杰涌现性与引人注目的群集行为相关，线性和非线性度量均显示，条件<math>H</math>下的格兰杰涌现性显著高于条件<math>L</math>和<math>R</math>。条件<math>H</math>和<math>L</math>下的所有格兰杰涌现性值都是显著的（格兰杰自主性和格兰杰因果关系的<math>P</math>值均小于<math>10^{-5}</math> ，双尾<math>t</math>检验）；而条件<math>R</math>下的结果则不显著。
为了测试boid模型中不同参数组合下格兰杰涌现性的行为，我在参数空间<math>\alpha(1, 2, 3) \in [0.0, 0.1, \ldots, 1.0]</math> 中计算了每个参数向量的线性和非线性格兰杰涌现性。由于参数<math>[ \alpha_3 ]</math>和α<sub>4</sub>都影响同一规则（速度匹配），它们被配对在一起进行评估，并为每个向量进行了三次评估，总共需要 11 × 11 × 11 × 3 = 3993 次评估。图3显示了穿过三维参数空间的三个正交剖面的格兰杰涌现性；在每个剖面中，向量α<sub>H</sub>（条件 H）由绿色线的交点标记。
为了测试boid模型中不同参数组合下格兰杰涌现性的行为，我在参数空间<math>\alpha(1, 2, 3) \in [0.0, 0.1, \ldots, 1.0]</math> 中计算了每个参数向量的线性和非线性格兰杰涌现性。由于参数<math> \alpha_3 </math>和<math> \alpha_4 </math>都影响同一规则（速度匹配），它们被配对在一起进行评估，并为每个向量进行了三次评估，总共需要 11 × 11 × 11 × 3 = 3993 次评估。图3显示了穿过三维参数空间的三个正交剖面的格兰杰涌现性；在每个剖面中，向量<math>\alpha_{H}</math>（条件<math>H</math>）由绿色线的交点标记。
这些剖面中有几个值得注意的方面。首先，线性和非线性格兰杰涌现性高度相关，这表明即使是线性度量在某些复杂系统中也能提供对涌现属性的洞见。其次，在参数空间的大多数区域中，格兰杰涌现性平滑变化，表明这是一种稳健的度量方法。然而，在某些区域中，出现了明显的跃迁，例如在一些<math>\alpha_1 = 0</math> 的向量与其相邻向量之间的跃迁。格兰杰涌现性对这些跃迁的敏感性表明，它可以有效识别复杂模型中存在非平凡弱涌现的参数区域。
[[文件:图3实验.png|居左|无框|替代=|659x659像素]]
[[文件:图3实验.png|居左|无框|替代=|659x659像素]]
'''图3：'''boid模型的参数空间。参数向量α<sub>H</sub>由绿色线的交点表示。灰度显示全局CM的平均线性和非线性格兰杰涌现性。每个值是5000时间步的三次评估的平均值。红点表示导致时间序列可靠地非平稳的参数组合。
'''图3：'''boid模型的参数空间。参数向量<math> \alpha_H</math> 由绿色线的交点表示。灰度显示全局CM的平均线性和非线性格兰杰涌现性。每个值是5000时间步的三次评估的平均值。红点表示导致时间序列可靠地非平稳的参数组合。
==='''向下因果'''===
==='''向下因果'''===