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针对任意的状态硬划分，我们可以定义所谓的可聚类性（lumpability）的概念。可聚类性（Lumpability）是一种对聚类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。可聚类性（Lumpability）就是一个数学条件，用来判断“对于某一种硬分块的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵是可约简的”。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>。接下来，我们给出正式的定义。

针对任意的状态硬划分，我们可以定义所谓的可聚类性（lumpability）的概念。可聚类性（Lumpability）是一种对聚类的衡量，这个概念最早出现在Kemeny, Snell在1969年的有限马尔科夫链（Finite Markov Chains）<ref name=":33">Kemeny, John G., and J. Laurie Snell. ''Finite markov chains''. Vol. 26. Princeton, NJ: van Nostrand, 1969. https://www.math.pku.edu.cn/teachers/yaoy/Fall2011/Kemeny-Snell_Chapter6.3-4.pdf</ref>中。可聚类性（Lumpability）就是一个数学条件，用来判断“对于某一种硬分块的微观状态分组分案，是否对微观状态转移矩阵是可约简的”。不管状态空间按照哪一个硬分块方案做分类，它都有对应后续的对转移矩阵和概率空间的粗粒化方案<ref>Buchholz, Peter. "Exact and ordinary lumpability in finite Markov chains." ''Journal of applied probability'' 31.1 (1994): 59-75.</ref>。接下来，我们给出正式的定义。

给定一个状态划分（state partition） '''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>'''，我们能够用下列公式描述一个马尔科夫链的聚类过程(lumped process)，且这个转移概率对任何初始状态(starting vector) <math> \pi </math> 都是一样的：{{NumBlk|:|

对给定分组方法'''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' 可聚类的充分必要条件为：

<math>

 

设<math>p_{s_k \rightarrow s_m} = p(s^{(t)} = s_m | s^{(t-1)} = s_k)</math>，<math>p_{s_k \rightarrow A_i} = p(s^{(t)} \in A_i | s^{(t-1)} = s_k)</math>

&Pr_{\pi}[s^{(0)} \in A_i] \\

&Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k, ... ,  s^{(1)} \in A_j,  s^{(0)} \in A_i] = Pr_{\pi}[s^{(t)} \in A_m | s^{(t-1)} \in A_k]

这里定义<math>s^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的微观状态，微观状态空间为<math>S=\{s_1, s_2, ... ,s_n\}</math>，与此同时<math>S \rightarrow A</math>是硬分组的映射关系，定义<math>A^{(t)}</math>表示系统在<math>t</math>时刻的宏观状态。

假设'''<math>A</math>'''是马尔科夫链的状态空间集合，'''<math>A_1, A_2, ... ,A_r</math>'''为聚类后集合中的不同子集，判断一个马尔科夫链对该划分方法 '''<math>A=\{A_1, A_2, ... ,A_r\}</math>''' 是有效聚类的充分必要条件为，对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于子集<math>A_i</math>的状态元素<math>s_k</math>的<math>p_{kA_j}</math>都是一样的。也就是说{{NumBlk|:|

对于任意一对<math>A_i, A_j</math>，每一个属于<math>A_i</math>的状态<math>s_k</math>的<math>p_{s_k \rightarrow A_j}</math>都是一样的，即 {{NumBlk|:|

<math>

<math>

\begin{aligned}

\begin{aligned}

\end{aligned}

\end{aligned}

</math>

</math>

|{{EquationRef|4}}}}这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率，其等价于群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率和群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。

|{{EquationRef|4}}}}这个公式表达的是，群组<math>A_i</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率，其等价于群组<math>A_i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>的转移概率和群组<math>i</math>中任意状态<math>s_k</math>到群组<math>A_j</math>中的状态的转移概率的和。满足这一条件的马尔科夫链及其状态划分被称为'''可聚类性'''。

 

满足这一条件的马尔科夫链及其状态划分被称为'''可聚类性'''。

可聚类的马尔科夫矩阵可以被重新排列成几个新的模块，这种可聚类的矩阵的动力学可逆性也会很高，在这种情况下动力学可逆性和可聚类性是一致的。关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。

可聚类的马尔科夫矩阵可以被重新排列成几个新的模块，这种可聚类的矩阵的动力学可逆性也会很高，在这种情况下动力学可逆性和可聚类性是一致的。关于具体的粗粒化马尔科夫链的方法，请参考[[马尔科夫链的粗粒化]]。