更改

特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。

特别地，如果<math>\mathbf{M}</math>的行列式为正，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>都带反射或都不带反射。若行列式为负，则只有一个会带反射。若行列式为零，我们可以随意选择每个矩阵的类型。

当<math>\mathbf{M}</math>是实矩阵但非方阵，即<math>m \times n</math>且<math>m \neq n</math>时，我们可以将其视为从<math>\mathbb{R}^n</math>到<math>\mathbb{R}^m</math>的线性变换。这时，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>分别为<math>\mathbb{R}^m</math>和<math>\mathbb{R}^n</math>的旋转/反射；而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>除了缩放前<math>\min\leftb{m,n \right}</math>个坐标外，还会用零扩展向量或删除尾部坐标，从而将<math>\mathbb{R}^n</math>转换为<math>\mathbb{R}^m</math>。

当<math>\mathbf{M}</math>是实矩阵但非方阵，即<math>m \times n</math>且<math>m \neq n</math>时，我们可以将其视为从<math>\mathbb{R}^n</math>到<math>\mathbb{R}^m</math>的线性变换。这时，我们可以选择<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}^*</math>分别为<math>\mathbb{R}^m</math>和<math>\mathbb{R}^n</math>的旋转/反射；而<math>\boldsymbol{\Sigma}</math>除了缩放前<math>\min\left{m,n \right}</math>个坐标外，还会用零扩展向量或删除尾部坐标，从而将<math>\mathbb{R}^n</math>转换为<math>\mathbb{R}^m</math>。

===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===

===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===