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===值域、零空间和秩===

===值域、零空间和秩===

SVD还能为矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的值域和零空间提供明确表示。<math>\mathbf{M}</math> 零奇异值对应的右奇异向量张成其零空间，非零奇异值对应的左奇异向量张成其值域。例如，在前面的例子中，零空间由 <math>\mathbf{V}^*</math> 的最后一行张成，值域由 <math>\mathbf{U}</math> 的前三列张成。

SVD还能为矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的值域和零空间提供明确表示。<math>\mathbf{M}</math> 零奇异值对应的右奇异向量张成（span）其零空间，非零奇异值对应的左奇异向量张成其值域。例如，在前面的例子中，零空间由 <math>\mathbf{V}^*</math> 的最后一行张成，值域由 <math>\mathbf{U}</math> 的前三列张成。

 

SVD的另一个应用是它为矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 的值域和零空间提供了明确的表示。对应于 <math>\mathbf{M}</math> 的零奇异值的右奇异向量张成了 <math>\mathbf{M}</math> 的零空间，而对应于 <math>\mathbf{M}</math> 的非零奇异值的左奇异向量张成了 <math>\mathbf{M}</math> 的值域。例如，在上面的例子中，零空间由 <math>\mathbf{V}^{*}</math> 的最后一行张成，而值域由 <math>\mathbf{U}</math> 的前三列张成。

因此，<math>\mathbf{M}</math> 的秩等于非零奇异值的个数，也就是 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中非零对角元素的个数。在数值线性代数中，我们可以用奇异值确定矩阵的有效秩，因为舍入误差（rounding error）可能导致秩亏矩阵出现小但非零的奇异值。我们通常认为超过显著间隙的奇异值在数值上等同于零。

因此，<math>\mathbf{M}</math> 的秩等于非零奇异值的个数，也就是 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中非零对角元素的个数。在数值线性代数中，我们可以用奇异值确定矩阵的有效秩，因为舍入误差（rounding error）可能导致秩亏矩阵出现小但非零的奇异值。我们通常认为超过显著间隙的奇异值在数值上等同于零。