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===低秩矩阵近似===

===低秩矩阵近似===

一些实际应用需要用另一个特定秩 r 的矩阵 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math>（称为截断矩阵truncated）来近似矩阵 <math>\mathbf{M}</math>。如果我们要在 <math>\operatorname{rank}(\tilde{\mathbf{M}}) = r</math> 的约束下最小化 <math>\mathbf{M}</math> 和 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math> 之间差的Frobenius范数，那么解就由 <math>\mathbf{M}</math> 的SVD给出：

一些实际应用需要用另一个特定秩 r 的矩阵 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math>（称为截断矩阵truncated）来近似矩阵 <math>\mathbf{M}</math>。如果我们要在 <math>\operatorname{rank}(\tilde{\mathbf{M}}) = r</math> 的约束下最小化 <math>\mathbf{M}</math> 和 <math>\tilde{\mathbf{M}}</math> 之间差的[[Frobenius范数]]，那么解就由 <math>\mathbf{M}</math> 的SVD给出：

<math>\tilde{\mathbf{M}} = \mathbf{U}\tilde{\mathbf{\Sigma}}\mathbf{V}^*</math>

<math>\tilde{\mathbf{M}} = \mathbf{U}\tilde{\mathbf{\Sigma}}\mathbf{V}^*</math>