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对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：1. P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>
</math>和对应的转移概率矩阵(TPM) P ，如果P同时满足：'''1.''' P是可逆矩阵，即存在矩阵<math>
P^{-1}
P^{-1}
</math>，使得<math>
</math>，使得<math>
PP^{-1}=I
PP^{-1}=I
</math>； 2. <math>
</math>； '''2.''' <math>
P^{-1}
P^{-1}
</math>也是另一个马尔可夫链<math>
</math>也是另一个马尔可夫链<math>
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。考虑P的秩为r，当且仅当r<N（N为矩阵的维数）的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：'''1.''' 尽管<math>
P^{-1}
P^{-1}
</math>存在，<math>
</math>存在，<math>
P^{-1}
P^{-1}
</math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
</math>并不一定是满足归一化条件的合法TPM（即矩阵中每个元素都大于等于0，小于等于1，且每一行满足加和为1的条件）。'''2.''' 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
所有置换矩阵的行向量都是独热向量（one-hot vector)（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，我们可以找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。
所有置换矩阵的行向量都是独热向量（one-hot vector)（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是独热向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，我们可以找到P的近似动力学可逆性与矩阵奇异值之间的联系。
如下图所示，在由三种不同方法生成的各种归一化的TPM 上比较了<math>
如下图所示，在由三种不同方法生成的各种归一化的TPM 上比较了<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>和 EI：1）软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。以下是具体生成步骤：
</math>和 EI：'''1）'''软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。以下是具体生成步骤：
'''软化置换矩阵：'''
'''软化置换矩阵：'''
'''完全随机矩阵：'''
'''完全随机矩阵：'''
1) 从[0, 1]上的均匀分布中抽取一个行随机向量；
'''1)''' 从[0, 1]上的均匀分布中抽取一个行随机向量；
2) 对该行向量进行归一化处理，使生成的矩阵是一个TPM。
'''2)''' 对该行向量进行归一化处理，使生成的矩阵是一个TPM。
该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有静止流都是保守流的原则，对原始TPM进行还原。
该方法的基本思路是将P中的所有行向量<math>P_{i}</math>视为维数为N的数据向量，然后首先对这些行向量进行PCA降维，其次将其聚类为r个簇，其中r是根据奇异值频谱的阈值<math>\epsilon</math>选取的。有了聚类，我们就可以根据所有静止流都是保守流的原则，对原始TPM进行还原。
1) 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在静态分布）：
'''1)''' 对P进行SVD分解（假设P是不可归约的，且具有周期性，从而存在静态分布）：
<blockquote>
<blockquote>
<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
<math>P=U\cdot \Sigma \cdot V^{T},</math>
其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
其中，<math>U</math>和<math>V</math>是两个尺寸为N×N的正交归一化矩阵，<math>\Sigma = diag(\sigma_{1},\sigma_{2},...,\sigma_{N})</math> 是一个对角矩阵，包含所有有序奇异值。
2)选择一个<math>
'''2)'''选择一个<math>
\epsilon
\epsilon
</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}
</math>作为阈值来切断奇异值谱，并得到<math>r_{\epsilon}
</math>作为保留状态的个数；
</math>作为保留状态的个数；
3)通过计算<math>
'''3)'''通过计算<math>
\tilde{P}\equiv P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
\tilde{P}\equiv P\cdot V_{N\times r_{\epsilon}}
</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>
</math>对P中的所有<math>P_{i}</math>进行降维，其中<math>
</math>特征向量构成；
</math>特征向量构成；
4) 通过 K-means 算法将<math>\tilde{P}</math>中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:
'''4)''' 通过 K-means 算法将<math>\tilde{P}</math>中的所有行向量聚类为r组，得到投影矩阵<math>\Phi</math>，其定义为:
<blockquote>
<blockquote>
<math>
<math>
对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。
对<math>\forall i,j \in [1,N]</math>都成立。
5) 利用<math>
'''5)''' 利用<math>
\Phi</math>和P得到新的TPM。
\Phi</math>和P得到新的TPM。
=参考文献=
=参考文献=
<references />
<references />
=编者推荐=
下面是一些链接能够帮助读者更好的了解因果涌现的相关信息：
===因果涌现读书会===
*[https://pattern.swarma.org/study_group_issue/490 因果涌现读书会第三季第一期：涌现、因果与人工智能]
*[https://pattern.swarma.org/study_group_issue/645 因果涌现读书会第五季第二期：复杂系统中的因果与涌现综述]
===文章推荐===
*Zhang, J.; Liu, K. [https://www.mdpi.com/1099-4300/25/1/26 Neural Information Squeezer for Causal Emergence]. ''Entropy'' 2023, ''25'', 26.
*Yuan, B.; Zhang, J. et al. [https://www.mdpi.com/1099-4300/26/2/108 Emergence and Causality in Complex Systems: A Survey of Causal Emergence and Related Quantitative Studies]. ''Entropy'' 2024, ''26'', 108.
===路径推荐===
*张江老师根据因果涌现读书会第一季梳理的关于因果涌现的学习路径：https://pattern.swarma.org/article/153
*张江老师根据因果涌现前五季读书会整理的因果涌现入门路径：https://pattern.swarma.org/article/296
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