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===最近正交矩阵===

===最近正交矩阵===

我们可以利用方阵 <math>\mathbf{A}</math> 的SVD来找出最接近 <math>\mathbf{A}</math> 的正交矩阵 <math>\mathbf{O}</math>。这里，我们用 <math>\mathbf{O} - \mathbf{A}</math> 的Frobenius范数来衡量接近程度。解是 <math>\mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 的乘积。<ref>{{citation| url=https://people.wou.edu/~beavers/Talks/Willamette1106.pdf| title=The Singular Value Decomposition in Symmetric (Lowdin) Orthogonalization and Data Compression}}</ref>这个结果在直觉上是合理的，因为正交矩阵会有分解 <math>\mathbf{U}\mathbf{I}\mathbf{V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{I}</math> 是单位矩阵。所以如果 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，那么乘积 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 相当于用1替换所有奇异值。等价地，解就是极分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{R}\mathbf{P} = \mathbf{P}'\mathbf{R}</math> 中的酉矩阵 <math>\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math>，无论拉伸和旋转的顺序如何。

我们可以利用方阵 <math>\mathbf{A}</math> 的SVD来找出最接近 <math>\mathbf{A}</math> 的正交矩阵 <math>\mathbf{O}</math>。这里，我们用 <math>\mathbf{O} - \mathbf{A}</math> 的Frobenius范数来衡量接近程度。解是 <math>\mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 的乘积<ref>{{citation| url=https://people.wou.edu/~beavers/Talks/Willamette1106.pdf| title=The Singular Value Decomposition in Symmetric (Lowdin) Orthogonalization and Data Compression}}</ref>。这个结果在直觉上是合理的，因为正交矩阵会有分解 <math>\mathbf{U}\mathbf{I}\mathbf{V}^*</math>，其中 <math>\mathbf{I}</math> 是单位矩阵。所以如果 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^*</math>，那么乘积 <math>\mathbf{A} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math> 相当于用1替换所有奇异值。等价地，解就是极分解 <math>\mathbf{M} = \mathbf{R}\mathbf{P} = \mathbf{P}'\mathbf{R}</math> 中的酉矩阵 <math>\mathbf{R} = \mathbf{U}\mathbf{V}^*</math>，无论拉伸和旋转的顺序如何。

在形状分析中，有一个类似的问题叫做正交普鲁克问题（orthogonal Procrustes problem），它涉及找到一个最接近将 <math>\mathbf{A}</math> 映射到 <math>\mathbf{B}</math> 的正交矩阵 <math>\mathbf{O}</math>。具体来说：

在形状分析中，有一个类似的问题叫做正交普鲁克问题（orthogonal Procrustes problem），它涉及找到一个最接近将 <math>\mathbf{A}</math> 映射到 <math>\mathbf{B}</math> 的正交矩阵 <math>\mathbf{O}</math>。具体来说：