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奇异值分解（SVD） (查看源代码)

2024年10月26日 (六) 08:29的版本

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→‎奇异值作为椭圆或椭球体的半轴

第37行：第37行：

===奇异值作为椭圆或椭球体的半轴===

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如下图所示，我们可以将奇异值理解为二维椭圆半轴的长度。这一概念可以推广到<math>n</math>维欧几里得空间（Euclidean space）：任何<math>n \times n</math>方阵的奇异值都可以看作<math>n</math>维椭球体半轴的长度。同理，任何<math>m \times n</math>矩阵的奇异值可以视为<math>m</math>维空间中<math>n</math>维椭球体半轴的长度，比如三维空间中（倾斜的）二维平面上的椭圆。奇异值编码了半轴的长度，而奇异向量则编码了方向。详见下文：

[[文件:Singular value decomposition.gif|无框|居左|奇异值分解动画可视化]]

−

如上图所示，我们可以将奇异值理解为二维椭圆半轴的长度。这一概念可以推广到<math>n</math>维欧几里得空间（Euclidean space）：任何<math>n \times n</math>方阵的奇异值都可以看作<math>n</math>维椭球体半轴的长度。同理，任何<math>m \times n</math>矩阵的奇异值可以视为<math>m</math>维空间中<math>n</math>维椭球体半轴的长度，比如三维空间中（倾斜的）二维平面上的椭圆。奇异值编码了半轴的长度，而奇异向量则编码了方向。详见下文：

===<math>\mathbf{U}</math>和<math>\mathbf{V}</math>的列构成正交标准基===

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