2,464
个编辑
更改
→奇异值、奇异向量及其与SVD的关系
* 一个 <math>m \times n</math> 矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 最多有 <math>p</math> 个不同的奇异值。
* 一个 <math>m \times n</math> 矩阵 <math>\mathbf{M}</math> 最多有 <math>p</math> 个不同的奇异值。
* 我们总能在 <math>K^m</math> 中找到一个酉基（unitary basis） <math>\mathbf{U}</math>，其某个子集的基向量组成了 <math>\mathbf{M}</math>的左奇异向量，对应于每个奇异值。
* 我们总能在 $K^m$ 空间中找到一组酉基 $U$，其中部分基向量张成了矩阵 $M$ 每个奇异值对应的左奇异向量。
* 同样，我们也能在 <math>K^n</math> 中找到一个酉基 <math>\mathbf{V}</math>，其中有些基向量组成了 <math>\mathbf{M}</math> 的右奇异向量，对应于每个奇异值。
* 同样地，在 $K^n$ 空间中也存在一组酉基 $V$，其中部分基向量张成了矩阵 $M$ 每个奇异值对应的右奇异向量。
当我们能找到两个线性独立的左（或右）奇异向量时，我们称该奇异值为简并（degenerate）的。如果 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{u}_2</math> 是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的两个左奇异向量，那么这两个向量的任何归一化线性组合也是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的左奇异向量。右奇异向量也有类似性质。独立的左奇异向量和右奇异向量数量相同，它们分别出现在 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的对应列中，这些列对应着 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中值为 <math>\sigma</math> 的对角元素。
当我们能找到两个线性独立的左（或右）奇异向量时，我们称该奇异值为简并（degenerate）的。如果 <math>\mathbf{u}_1</math> 和 <math>\mathbf{u}_2</math> 是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的两个左奇异向量，那么这两个向量的任何归一化线性组合也是对应奇异值 <math>\sigma</math> 的左奇异向量。右奇异向量也有类似性质。独立的左奇异向量和右奇异向量数量相同，它们分别出现在 <math>\mathbf{U}</math> 和 <math>\mathbf{V}</math> 的对应列中，这些列对应着 <math>\mathbf{\Sigma}</math> 中值为 <math>\sigma</math> 的对角元素。